מעוין או מעויין? כל התכונות, הנוסחאות ומה שצריך לדעת

אז איך כותבים? מעוין או מעויין? ;)

בינינו זה לא משנה. מדובר באותה צורה הנדסית מסתורית המזכירה לנו יהלום מלוטש או אולי משחק קלפים... בין אם תבחרו לרשום את שם הצורה עם יוד אחת או עם שתיים, יש להכיר את תכונות הצורה ואת ייחודיותה, על מנת להתמודד עם לא מעט בעיות גיאומטריות. אז בואו נתחיל….

מעוין או מעויין?

הגדרות המעוין

מעוין הוא מצולע עם ארבע צלעות השוות באורכן זו לזו. אם נתייחס ל"משפחה מורחבת", ניתן לומר, כי מעוין מהווה למעשה מקרה פרטי עבור הצורות דלתון ומקבילית. מצד שני, במידה ומעויין מסוים מתאפיין גם בארבע זוויות שוות בגודלן (כלומר, כל זווית בת 90 מעלות), מעויין זה הופך לריבוע.

תכונות המעוין

להלן התכונות המרכזיות, המאפיינות את המעוין. על מנת להמחיש אותן בצורה טובה יותר, ניעזר בשרטוט הבא:

מעוין - תכונות והגדרות

כל הצלעות של המעוין שוות זו לזו מבחינת האורך. כלומר, מתקיים BC=CD=DE=EB
הצלעות הנגדיות של המעוין מקבילות אחת לשנייה. כלומר, מתקיים:BC||DE ,EB ||CD
הזוויות הנגדיות של המעוין שוות זו לזו בגודלן. כלומר, מתקיים: C = <E, <D = <B>
במידה ומורידים גובה לכל צלע, ארבעת הגבהים שווים באורכם. בשרטוט מודגם גובה אחד בלבד H, המורד מהקודקוד B לצלע DE.
יש אפשרות לחסום מעגל בכל מעוין.
בכל מעוין יש שני אלכסונים, הניצבים אחד לשני. כלומר, מתקיים: BD מאונך ל - CE.
נקודת המפגש של שני האלכסונים מחלקת את כל אחד מהאלכסונים לשני חלקים שווים. כלומר, מתקיים: BK=KD, CK=KE
כל אחד משני האלכסונים מחלק את זוויות המעוין לשתי זוויות שוות. כלומר, מתקיים:

B1 = <B2, <C1 = <C2 , <D1 = <D2, <E1 = <E2>

הוכחת מעויין

על מנת להוכיח שמרובע כלשהו הוא מעויין, ניתן להיעזר בדרך ישירה או בדרך עקיפה. אם נבחר בדרך הישירה, יהיה עלינו להוכיח, כי במרובע נתון כל ארבע הצלעות שוות זו לזו באורכן. בדרך העקיפה יש להוכיח בשלב הראשון שהמצולע הוא מקבילית. לאחר שהצלחנו להוכיח שמרובע כלשהו הוא מקבילית, עומדות בפנינו שלוש אופציות:

עלינו להוכיח שהאלכסונים במקבילית משמשים כחוצי זווית
עלינו להוכיח שהאלכסונים במקבילית ניצבים אחד לשני
עלינו להוכיח ששתי צלעות סמוכות במקבילית שוות אחת לשנייה

בהתאם לנתוני התרגיל, נוכל לבחור את הדרך המתאימה לנו ביותר ולהוכיח, כי מקבילית כלשהי היא למעשה מעויין.

להסבר המלא

למעבר לתרגולים בנושא

בחן את עצמך במעוין או מעויין? כל התכונות, הנוסחאות ומה שצריך לדעת!

בחנים ותרגולים נוספים

תרגילים בסיסיים במעוין או מעויין? כל התכונות, הנוסחאות ומה שצריך לדעת (3)

צפו במספר דוגמאות לתרגילים בנושא מעוין או מעויין? כל התכונות, הנוסחאות ומה שצריך לדעת

דוגמאות ותרגולים נוספים

תרגולים מתקדמים (3)

אחרי הדוגמאות הבסיסיות, הגיע הזמן לתרגילים קצת יותר מאתגרים 😊

הכיתה התקדמה במעוין או מעויין? כל התכונות, הנוסחאות ומה שצריך לדעת ואתם עדיין מאחור?

צוות לימוד נעים כאן עבורכם :)
בואו ללמוד מעוין או מעויין? כל התכונות, הנוסחאות ומה שצריך לדעת עם מאות סרטונים, שאלות ודוגמאות.

בא לי ללמוד בלי חפירות👷‍

נוסחה לחישוב שטח מעוין

קיימות מספר אפשרויות, באמצעותן ניתן לחשב את שטח המעוין. בסעיף זה נציין בקצרה שתי נוסחאות, המאפשרות את חישוב שטח המעוין. לשם הרחבה, תוכלו לעיין במאמר המלא המוקדש לנושא של שטח המעוין.

דרך א': מכפילים את אורכי האלכסונים זה בזה ומחלקים ל- 2 .

כלומר, מתקיים :

$S= \frac{(CL × KM)}{2}$

תרשים מעוין כתום המציג שתי אלכסונים המסומנים כאלכסון 1 ואלכסון 2, המדגים שכפל האלכסונים מאפשר לחשב את שטח המעוין.

דרך ב': מכפילים את אחת הצלעות בגובה.

כלומר, מתקיים:

$S= CT × ML$

איור מעוין כתום עם סימון גובה וצלע, המדגים כיצד הכפלת הגובה בצלע מחשבת את שטח המעוין.

חישוב היקף מעוין

הגענו לחלק הפשוט ביותר שהוא חישוב היקף מעוין. נזכיר, כי היקף המעוין הוא סכום אורכי צלעות המעוין.

היות וארבע הצלעות של המעוין שוות באורכן, יש לנו צורך בידיעת האורך של צלע אחת בלבד. בשלב הבא, נכפיל את אורך הצלע ב- 4 ונקבל את היקף המעוין.

דוגמאות ותרגול להוכחת מעויין

תרגיל מס' 1:

נתון המעוין QRST.

אחת מזוויות המעוין נתונה. בהתאם לנתוני השרטוט, מצאו את שלוש הזוויות הנותרות של המעוין.

תרגול מעוין 01

פתרון:

נתמקד בנתון הקיים. הזווית של הקודקוד R ידועה לנו ושווה ל- ︒70

בהתאם לידוע לנו על תכונות המעוין, הזוויות הנגדיות במעוין שוות זו לזו בגודלן, לכן גם הזווית של הקודקוד T תהיה שווה ל- ︒70.

מעוין הוא מרובע, ובהתבסס על כך, כי סכום הזוויות בכל מרובע הוא ︒ 360, נקבל שסכום הזוויות Sו- Q הוא : 220= 140- 360 =360-70X2.

נחזור וניזכר שהזוויות הנגדיות במעוין שוות זו לזו בגודלן. מכאן נסיק, כי כל אחת מזוויות הקודקודים הנותרות, Q ו- S, תהיה שווה ל-︒ 110.

תשובה: זוויות המעוין הן: ︒70, ︒70, ︒110, ︒110.

תרגיל מס' 2:

נתון המעוין ABCD.

בהתאם לנתוני השרטוט, מצאו את היקף ואת שטח המעוין.

תרגול מעוין 02

פתרון:

נתבונן תחילה בשרטוט. נתונה לנו אחת מצלעות המעוין. בהתאם לתכונות שלמדנו, כל ארבע צלעות המעוין שוות זו לזו בגודלן.

לכן, מתקיים:$ AB=BC=CD=DA=5$.

היקף המעוין הוא סכום כל הצלעות, ולכן נכפיל את 5 ב-4 ונקבל 20 ס"מ.

כעת נעבור לחישוב שטח המעוין. לשם כך, נשתמש באופציה הראשונה שלמדנו, כלומר, נמצאת את מכפלת האלכסונים ונחלק ב-2.

בשרטוט ניתן לראות, כי 4=AK. בהתאם לתכונות המעוין, מתקיים, כי נקודת המפגש של אלכסוני המעוין חוצה אותם, ולכן נקבל ש- AC=8. נותר לנו למצוא את האלכסון השני.

ניזכר בתכונה נוספת של המעוין: אלכסוני המעוין מאונכים אחד לשני. כלומר, המשולש ABK הוא משולש ישר זווית, בו מתקיים משפט פיתגורס. לפי משפט פיתגורס נחשב את BK.

מתקיים:

${"id":"1","font":{"color":"#000000","size":11,"family":"Arial"},"aid":null,"type":"$","backgroundColor":"#ffffff","backgroundColorModified":false,"code":"$BK=\\,{\\sqrt[]{25-16}}\\,=\\,{\\sqrt[]{9}}\\,=3$","ts":1608212265348,"cs":"jUzjbAjfVVvlZSAyX3tVuQ==","size":{"width":204,"height":16}}$

שוב פעם, אלכסוני המעוין חוצים זה את זה ולכן: BD=6.

כאמור, מתקיים:

$S= \frac{AC × BD}{2}= \frac{8 × 6}{2}= \frac{48}{2}=24$

תשובה:

היקף המעוין הוא 20 ס"מ.

שטח המעוין הוא 24 סמ"ר.

למעבר לתרגולים בנושא