מספרים רציונליים

מספרים רציונליים

מאמר הזה תלמדו את כל מה שאתם צריכים לדעת על מספרים רציונליים ותתרגלו מגוון תרגילים עם מספרים רציונליים.
שנתחיל?

מה זה מספר רציונלי?
מספר רציונלי הוא מספר שאפשר להציג אותו כמנה של מספרים שלמים – מונה ומכנה.
במילים אחרות – מספר רציונלי הוא שבר.

שימו לב: כל מספר רציונלי ניתן להציג כשבר בכמה דרכים.
למשל המספר הרציונלי \(\frac{2}{4}\) יכול להיכתב גם כך: \(\frac{1}{2}\) או כך \(\frac{3}{6}\) או אפילו כך: \(\frac{4}{8}\)
כל מספר שלם הוא מספר רציונלי כי כל מספר שלם ניתן לכתוב בצורת שבר אם המכנה הוא \(1\).
לדוגמה המספר השלם \(4\), יכול להיכתב כמספר רציונלי באופן הזה: \(\frac{4}{1}\).
ומה לגבי \(0\)?
את \(0\) ניתן להציג כמספר רציונלי באופן הזה: \(\frac{0}{1}\).
מספר רציונלי יכול להיות גם שלילי וגם מספר עשרוני.

ועכשיו? בואו נתרגל!
קבעו אילו מספרים רציונליים מקבוצת המספרים הבאה:

\(22, 0, 5-, 6  \)

פתרון:
כל המספרים רציונליים. ניתן להציג אותם כמנה באופן הבא:
\(22\) : נציג כשבר \(\frac{22}{1}\)
\(0\) : נציג כשבר \(\frac{0}{1}\)
\(-5\) : נציג כשבר \(-\frac{5}{1}\)
\(6\) : נציג כשבר: \(\frac{6}{1}\)

קבעו אילו מספרים רציונליים מקבוצת המספרים הבאה:

\(1, -16, -\frac{2}{3}, \frac{7}{6}\)

פתרון:
כל המספרים רציונליים. ניתן להציג אותם כמנה באופן הבא:
\(1\) : נציג כשבר \(\frac{1}{1}\)
\(-16\) : נציג כשבר \(-\frac{16}{1}\)

\( -\frac{2}{3}\) : מספר רציונלי שכבר מוצג כשבר עם מונה ומכנה
\(\ \frac{7}{6}\): מספר רציונלי שכבר מוצג כשבר עם מונה ומכנה.

קבעו אילו מספרים רציונליים מקבוצת המספרים הבאה:

\(0.5, -102, 13, 2\frac{4}{5}\)

פתרון:
כל המספרים רציונליים. ניתן להציג אותם כמנה באופן הבא:

\(0.5\) : מספר רציונלי, ניתן להציג כשבר \(\frac{1}{2}\)
\(-100\) : מספר רציונלי, ניתן להציג כשבר \(-\frac{100}{1}\)
\(13\) : מספר רציונלי, ניתן להציג כשבר \(\frac{13}{1}\)
\(2\frac{4}{5}\) : מספר רציונלי, ניתן להציג כשבר רק עם מונה ומכנה באופן הבא: \(\frac{14}{5}\)

כעת, אחרי שאנחנו יודעים איך לזהות מספרים רציונליים, נעבור לתרגילים עם מספרים רציונליים:

מצאו מספרים רציונליים ששווים בערכם למספר הרציונלי הנתון:

\(\frac{4}{5}=⬜ =⬜=⬜\)

פתרון:
אנו צריכים למצוא מספרים רציונליים, כלומר שברים, ששווים בערכם למספר הרציונלי \(\frac{4}{5}\)
בעזרת הרחבת השבר, נוכל להגיע לשברים עם ערך זהה.
נרחיב את \(\frac{4}{5}\) ב-\(2\). נזכור להרחיב גם את המונה וגם את המכנה כדי לא לשנות את ערכו של השבר.
נקבל: \(\frac{4}{5} = \frac{8}{10}\)
כעת נרחיב את המספר הרציונלי \(\frac{4}{5}\) ב-\(3\).
נקבל ש:
\(\frac{4}{5} = \frac{12}{15}\)
נשאר לנו למצוא עוד שבר \(1\) שיהיה זהה בערכו לשבר הנתון.
הפעם נרחיב ב-\(4\).
שימו לב – תוכלו להרחיב את השבר בכמה שרק תרצו. כל עוד הפעולה מתבצעת גם על המונה וגם על המכנה, ערכו של השבר נשמר.
נבצע הרחבה ב-\(4\) ונקבל:
\(\frac{4}{5} = \frac{16}{20}\)
ולכן אנו יכולים להשלים את התרגיל:

\(\frac{4}{5} = \frac{8}{10}= \frac{12}{15}= \frac{16}{20}\)

עוד תרגיל עם מספרים רציונליים:
השלימו את הספרות במספרים הרציונליים כדי שנקבל פסוק אמת.

\(\frac{⬜}{6}<\frac{2}{3}<\frac{⬜}{9}\)

פתרון:
התרגיל הזה יכול להיראות מעט קשה בהתחלה אבל אם נבין את הטריק, נוכל לפתור אותו בקלות.
אחת השיטות להשוות בין שברים היא באמצעות מכנה משותף.
אם לשני השברים יהיה מכנה משותף, נוכל להבין בקלות מי גדול ומי קטן יותר לפי המונה.

בתרגיל שלפנינו, אנו מחפשים מספר רציונלי עם מכנה \(9\) שיהיה גדול מ-\(\frac{2}{3}\).

\(\frac{2}{3}\) הם בעצם \(\frac{6}{9}\) ולכן \(\frac{7}{9}\) לדוגמה יהיה גדול מ - \(\frac{2}{3}\)

בנוסף, אנו מחפשים מספר רציונלי עם מכנה \(6\) שיהיה קטן מ- \(\frac{2}{3}\)
\(\frac{2}{3}\) הם בעצם \(\frac{4}{6}\) ולכן \(\frac{3}{6}\) לדוגמה יהיה קטן מ - \(\frac{2}{3}\)
נקבל:
\(\frac{3}{6}<\frac{2}{3}<\frac{7}{9}\)