מספרים אי רציונליים

מספרים אי-רציונליים

במאמר הזה תלמדו את כל מה שאתם צריכים לדעת על מספרים אי רציונליים ותדעו איך לזהות אותם מתוך קבוצות מספרים שונות.
שנתחיל?

מה זה מספר אי רציונלי?

מספר אי רציונלי הוא מספר שאי אפשר להציג אותו כמנה של מספרים שלמים – מונה ומכנה.
במילים אחרות, מספר אי רציונלי הוא מספר שאם נציג אותו כשבר- לא נוכל לקבל מונה שלם ומכנה שלם.

איך נוכל לזהות מספר אי רציונלי?

אם נציג מספר אי רציונלי כמספר עשרוני, הוא יהיה מספר אינסופי ולא מחזורי.
זאת אומרת שאחרי הנקודה העשרונית יופיעו אינסוף ספרות שלא יחזרו על עצמן באופן מחזורי.

מספר אי רציונלי לדוגמה - \(\sqrt2\)
את המספר \(\sqrt2\) אי אפשר להציג כמנה של מספרים שלמים ולכן הוא יהיה מספר אי רציונלי.

ועכשיו? בואו נתרגל!
קבעו אילו מספרים הם אי רציונליים מקבוצת המספרים הבאה:

\(15, 0, 8.56845623......, 5  \)

פתרון:

רק המספר \(8.56845623\) הוא אי רציונלי וכל השאר מספרים רציונליים.
\(15 \): רציונלי, ניתן להציג אותו כשבר של שני מספרים שלמים \(22\over1\)
\(0\) : רציונלי , נציג כשבר \(0\over1\)
\(8.56845623\): לא רציונלי, בתצוגה עשרונית יש לו אינסוף ספרות ללא מחזוריות.
\(5\): רציונלי, ניתן להציג אותו כשבר של שני מספרים שלמים: \(5\over1\)

קבעו אילו מספרים הם אי רציונליים מקבוצת המספרים הבאה:
\(5.369369369,1...  , 6.53248 ,0.020202...\)

פתרון:
\(0.020202\): רציונלי, בתצוגה עשרונית יש לו מחזוריות בספרות לאחר הנקודה ולכן הוא רציונלי.
\(6.53248...\): אי רציונלי, בתצוגה עשרונית יש לו אינסוף ספרות ללא מחזוריות ולכן לא רציונלי.
 \(1\): רציונלי, ניתן להציג אותו כשבר של שני מספרים שלמים - \(1\over1\)
\(5.369369369\): רציונלי, בתצוגה עשרונית יש לו מחזוריות בספרות לאחר הנקודה ולכן הוא רציונלי.

קבעו אילו מספרים הם אי רציונליים מקבוצת המספרים הבאה:
\(\frac{6}{3},\sqrt2   , .3.98765... ,0.100100010000\)

פתרון:
\(0.100100010000\): אי רציונלי, בתצוגה עשרונית אין מחזוריות בספרות לאחר הנקודה ולכן הוא אי רציונלי. 
(במבט חטוף אולי חשבתם שיש כאן מחזוריות, אבל חשוב שתשימו לב ותבדקו עוד רגע אם באמת הספרות חוזרות על עצמן באופן מחזורי).
\(3.98765...\): אי רציונלי, בתצוגה עשרונית יש לו אינסוף ספרות ללא מחזוריות ולכן לא רציונלי.
(אפילו שהספרות יורדות אחרי הנקודה העשרונית בצורה עוקבת, זה לא אומר שהן מופיעות במחזוריות ולכן המספר אי רציונלי).
\(\sqrt2\):  אי רציונלי, אם ננסה להציג אותו כשבר של שני מספרים שלמים – מונה שלם ומכנה שלם לא נצליח ולכן הוא מספר אי רציונלי. 
\(6 \over 3\): רציונלי, שבר עם מונה שלם ומכנה שלם.