ממרובע למקבילית

ממרובע למקבילית

אנחנו מכירים את המרובע המוכר והאהוב כבר זמן מה, אך היום נגלה איך לקבוע שהמרובע שלפנינו הוא בעצם מקבילית!
תחילה ניזכר בתכונות הידועות לנו על מרובע.

תכונות המרובע:

• מרובע הוא מצולע בעל 4 צלעות.
• סכום הזוויות הפנימיות במרובע שווה ל-360.

אתם בטח שואלים את עצמכם, מה הופך את המרובע שלנו למקבילית או איך נוכל לקבוע בוודאות שמרובע הוא מקבילית?
אל דאגה, אנחנו כאן כדי ללמד אתכם נלמד כמה דרכים עיקריות שיעזרו לכם לקבוע אם המרובע שלכם הוא גם מקבילית.

הדרך הראשונה לקבוע שמרובע הוא מקבילית היא לבחון את הטענה הבאה:

במרובע בו כל זוג צלעות נגדיות הן גם מקבילות זו לזו, המרובע הינו מקבילית.

איך נזכור זאת?
המילה מקבילית מזכירה מאוד את המילה מקבילות.
כך נזכור שאנחנו מחפשים צלעות שהינן מקבילות!

שימו לב- טענה זו הגיונית מאוד מאחר והגדרתה של המקבילית היא מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו הן מקבילות.
נשאל, האם כל זוג צלעות במרובע הן גם מקבילות? אם התשובה היא כן, נקבע שהמרובע הוא מקבילית.

הדרך השנייה לקבוע שהמרובע הוא מקבילית היא לבחון את הטענה הבאה:

במרובע בו כל זוג צלעות נגדיות הן גם שוות זו לזו, המרובע הינו מקבילית.

נשאל, האם כל זוג צלעות נגדיות במרובע הן גם שוות? אם התשובה היא כן, נקבע שהמרובע הוא מקבילית.

על מנת שתבינו טוב יותר מדוע הטענה הזו נכונה, נראה לכם איך מתקיימת הטענה הזו בהוכחה:

כל מה שנצטרך כדי להוכיח את הטענה הזו הוא להעביר קו אלכסון אחד במרובע שלנו ולחפוף בי המשולשים שנוצרו לנו לפי צ.צ.צ:
נתון:

\(AB=DC\)
\(AD=BC\)

הדרך השלישית לקבוע שהמרובע הוא מקבילית היא לבחון את הטענה הבאה:

אם במרובע קיים זוג אחד של צלעות נגדיות שהן גם שוות וגם מקבילות, המרובע הוא מקבילית.

שימו לב- מספיק רק זוג אחד של צלעות שבו מתקיימות שתי התכונות- גם מקבילות וגם שוות וקיבלנו מקבילית.

נשאל, האם קיים זוג צלעות במרובע שהן גם שוות וגם מקבילות? אם התשובה היא כן, נקבע שהמרובע הוא מקבילית.

בואו ונוכיח את הטענה הזו:

תחילה נעביר אלכסון במרובע שלפנינו
ונוכל להוכיח חפיפה בין שני המשולשים שנוצרו לנו.

נתון לנו ש:
\(AB=DC\)
\(AB∥DC\)

הדרך הרביעית לקבוע שהמרובע הוא מקבילית היא לבחון את הטענה הבאה:

אם במרובע, האלכסונים חוצים זה את זה המרובע הוא מקבילית.

שימו לב -  התנאי מדבר על אלכסונים חוצים ולא רק נחתכים.
מה הכוונה לאלכסונים שחוצים זה את זה?
אם אלכסון אחד חוצה את האלכסון השני לחצי- 2 חצאים שווים ואותו הדבר קורה גם ההפך, האלכסונים חוצים זה את זה.

נשאל, האם במרובע הזה האלכסונים חוצים זה את זה? אם התשובה היא כן, נקבע שהמרובע הוא מקבילית.

בואו ונראה זאת באיור:

נוכל לראות שבמרובע זה ישנם שני אלכסונים שחוצים זה את זה:
\(AE=CE\)
\(BE=DE\)

בואו ונוכיח את הטענה הזו:
נחפוף בין \(⊿BEC\)  ל- \(⊿AED\)
 לפי צ.ז.צ

הדרך החמישית לקבוע שהמרובע הוא מקבילית היא לבחון את הטענה הבאה:

אם במרובע ישנם שני זוגות של זוויות נגדיות שוות, המרובע הוא מקבילית.

כלומר:

אם 
\(∢A=∢C=α\)
\(∢B=∢D=β\)

אז המרובע שלפנינו \(ABCD \) הוא מקבילית.
נשאל, האם במרובע הזה ישנם שני זוגות של זוויות נגדיות שוות? אם התשובה היא כן, נקבע שהמרובע הוא מקבילית.

על מנת שתבינו טוב יותר את ההיגיון מאחורי הטענה הזו, נוכיח אותה כאן לפניכם:
נאריך מעט את צלעות המרובע ונקבל:

\(     ∢C2\) הינה זווית צמודה ל- α, נמצאת איתה על אותה ישר ולכן משלימה ל-180.
נקבע ש:
\(∢C2=180-α\)

מה עוד אנו יודעים?
שסכום הזוויות במרובע שווה ל-360. 
לכן נוכל לקבוע ש:
\(α+α+β+β=360\)
\(2α+2β=360\)
\(α+β=180\)
נוכל לבודד את β ולקבל:
\(β=180-α\)

כעת נשים לב, שלזווית β ולזווית \(∢C2\) יש את אותו הגודל: 180-α.
נשים לב שאלו גם זוויות מתאימות.

אם שתי הזוויות המתאימות הן גם שוות, אז שני הישרים שיוצרים אותם הם מקבילים.

את אותו הדבר נוכל להוכיח גם בזוג הזוויות השניות המתאימות ולהוכיח את מקבילותם של זוג הצלעות השני במרובע.

נפלא! כעת אתם יודעים את כל הדרכים לקבוע אם מרובע הוא גם מקבילית.