ממוצע

ממוצע

במאמר הזה תלמדו את כל מה שאתם צריכים לדעת על ממוצע לכיתה ח'. מבטיחים לכם שתדעו לשלוט בחומר בקלות ואפילו תגניבו חיוך קטן כשתראו שאלת ממוצע במבחן.

תזכורת – מה זה ממוצע?

סביר להניח שאתם יודעים מהו ממוצע אבל אנחנו כאן גם כדי לתזכר אתכם.
ממוצע הוא מספר שמייצג קבוצת מספרים כלשהי. הוא האמצע שלהם ולכן נוכל להגיד שהוא מייצג את הקבוצה כולה. 
אם נשאל לדוגמה – מה ממוצע הציונים של דנה, נתכוון לציון אחד שמייצג את כל הציונים שלה.

עובדות על ממוצע:

•     הממוצע לא חייב להופיע בקבוצת המספרים הנבדקת
•     אם נוסיף מספר ששווה לממוצע אל תוך קבוצת המספרים, הממוצע לא ישתנה
•     אם נוסיף מספר גדול מהממוצע אל קבוצת המספרים, הממוצע יגדל
•     אם נוסיף מספר קטן מהממוצע אל קבוצת המספרים, הממוצע יקטן
•     אם נוסיף מספר קבוע אל כל מספר בקבוצת המספרים, הממוצע יגדל במספר הקבוע
•     הממוצע יכול להיות שבר 

איך מחשבים ממוצע?

בשלב הראשון – נחבר את כל המספרים
בשלב השני – נחלק את הסכום שקיבלנו בכמות המספרים שחיברנו. (נזכור שגם \(0\) הוא מספר)
נראה זאת בנוסחה:

\(ממוצע = \frac{סכום~המספרים}{כמות~המספרים} \)

תרגילים:

1. מהו ממוצע הציונים של דניאל אם הוא קיבל:
 \(87\) באנגלית, \(55\) בחשבון, \(80\) בלשון, \(0\) בספורט ו-\(70\) בספרות?

פתרון:
נעבוד לפי השלבים. תחילה נחבר את כל המספרים ואז נחלק את מה שקיבלנו בכמות המספרים. נקבל:
\(\frac{87+55+80+0+70}{5}=\)

\({292\over5}=58.4\)

ממוצע הציונים של דניאל הוא \(58.4\).
שימו לב שלקחנו בחשבון גם את המספר \(0\) כשחישבנו את כמות המספרים.

2. אם דניאל היה עושה עוד מבחן בהיסטוריה ומקבל \(40\), הממוצע היה יותר קטן מ\(58.4\) או יותר גדול מ-\(58.4\)?

פתרון:
\(40\) הוא מספר קטן יותר מ-\(58.4\) ולכן אם נוסיף אותו אל קבוצת המספרים הממוצע יקטן.

חישוב ממוצע בטבלת שכיחויות

טבלת שכיחויות היא סך הכל טבלה שמארגנת לנו את הנתונים בצורה ברורה יותר.
הטבלה עוזרת מאוד לראות את הנתונים בבירור כאשר יש לנו המון נתונים, כמו לדוגמה ציונים של כל הכיתה ולא רק של תלמיד אחד.
בואו ונראה טבלת שכיחויות לדוגמה:

הטבלה מספרת לנו ש:
תלמיד אחד קיבל \(100\), \(3\) תלמידים קיבלו \(90\), \(7\) תלמידים קיבלו \(80\), \(5\) תלמידים קיבלו \(70\) ו-\(2\) תלמידים קיבלו \(60\).
במקום לרשום: \(60,60,70,70,70,70,70,80,80,80,80\).......... והרשימה עוד ארוכה.

איך מחשבים ממוצע מתוך טבלת שכיחויות?
בדיוק כמו שחישבנו בהתחלה:

נשאל: מהו ממוצע הציונים בכיתה?
סכום המספרים – יהיה סכום הציונים
כמות המספרים – כמות הציונים

פתרון:
נחשב את סכום הציונים: \(100+3*90+7*80+5*70+2*60=1400\)
כפלנו את מספר התלמידים שקיבלו את אותו ציון בציון עצמו וחיברנו כדי לקבל את סכום כל הציונים.
נחשב את כמות הציונים: \(1+3+7+5+2=18\)
כמות הציונים היא בעצם מספר התלמידים כי לכל תלמיד יש ציון.

נחלק את הסכום בכמות ונקבל את הממוצע:
\({1400\over18}=77.777\)
ממוצע הציונים בכיתה הוא \(77.777\).

הממוצע הגדול או הקטן ביותר שאפשרי

כדי למצוא את הממוצע הגדול ביותר האפשרי, נוסיף את המספר הכי גדול שאפשרי לקבוצת המספרים ולהפך.
בשאלות מסוג זה יתנו לנו תנאי לגבי קבוצת המספרים ונצטרך לעמוד בו.

לדוגמה:

ציונים הם בתחום \(30-100\)
ארבעת הציונים של רונה הם \(80\).
לרונה עוד ציון אחד.
מה הממוצע הקטן ביותר האפשרי לחמשת הציונים של רונה?

פתרון:
נוסיף את הציון הקטן ביותר האפשרי - \(30\) ונחשב ממוצע.
\(\frac{80*4+30}{5}=70\)