מלבן
מלבן היא צורה נפלאה עם תכונות ייחודיות. נכיר ונלמד את כל תכונותיו ונדע איך להוכיח שמולנו עומד לא אחר מאשר שמלבן.
מהו מלבן?
מלבן הוא מרובע שכל זוויותיו שוות ל-90 מעלות.
תכונות המלבן:
- כל זוג צלעות נגדיות שוות ומקבילות.
כלומר:
\(AB=DC\)
\(AB∥DC\)
וגם
\(AD=BC\)
\(AD∥BC\)
- כל הזוויות במלבן שוות ל- 90 מעלות.
כלומר:
\(∢A=∢B=∢C=∢D=90\)
נבחן תרגיל בסיסי הכולל מלבן:
נתון מלבן ABCD שבו \(AB=6\) ואילו \(BC=3\).
יש למצוא את אורכי הצלעות \(DA \) ו- \(CD\).
בהתאם לתכונות המלבן שלמדנו, במלבן הצלעות הנגדיות שוות זו לזו בגודלן.
לכן מתקיים:
\(AB=CD= 6\)
\(BC=DA=3\)
אלכסונים במלבן:
כעת, נעבור לתכונות אלכסוני המלבן:
נצייר את המלבן שלנו מחדש, ללא כל הסימונים על מנת לא להתבלבל:
- אלכסוני המלבן שווים זה לזה.
כלומר \(AC=BD\)
העשרה:
תוכלו להוכיח את הטענה הזו בקלות בעזרת חפיפת המשולשים \( ⊿ADC\) ו \(⊿BCD\)
לפי צ.ז.צ
| טענה |
הסבר |
| \(AD=BC\) צלע |
לפי תכונות המלבן, כל זוג צלעות נגדיות שוות. |
| \(∢ADC=∢BCD\) זווית |
לפי תכונות המלבן, כל הזוויות במלבן שוות. |
| \(DC=DC\) צלע |
צלע משותפת, כל גודל שווה לעצמו. |
מכאן נובע ש:
\(⊿BCD=⊿ADC \) |
לפי צ.ז.צ |
ולכן:
\(AC=BD \) |
לפי חפיפת המשולשים. |
- אלכסוני המלבן חוצים זה את זה (חוצים לחצי אחד את השני ולא רק נחתכים). מאחר ושני האלכסונים שווים, כל חצאי האלכסונים שווים.
כלומר:
\(AE=BE=CE=DE\)
שימו לב!
אלכסוני המלבן אינם מאונכים זה לזה!
הם אינם יוצרים זווית ישרה ביניהם.
בנוסף,
אלכסוני המלבן אינם חוצים את זוויות המלבן!
הערה:
מאחר ומלבן הוא סוג של מקבילית, מתקיימות בו כל תכונות המקבילית.
כיצד נוכיח שמולנו קיים מלבן? – הוכחת מלבן
ההגדרה הפורמלית של מלבן היא:
מקבילית שבה יש זווית של 90 מעלות.
בנוסף,
מקבילית שבה האלכסונים שווים זה לזה, תיקרא מלבן.
בעצם..
מלבן הוא סוג של מקבילית, רק מיוחד יותר.
אם תהיה נתונה לנו מקבילית שבה זווית בעלת 90 מעלות או מקבילית שבה האלכסונים שווים זה לזה, נוכל לקבוע שמדובר במלבן!
ממרובע למלבן
איך נוכיח שהמרובע שלפנינו הוא מלבן?
ישנן שתי דרכים:
הדרך הראשונה - בדיקת הזוויות
בדקו האם קיימות במרובע 3 זוויות השוות ל-90 מעלות.
במידה וכן, המרובע הינו מלבן.
(לא נצטרך לבדוק את גודלה של הזווית הרביעית כי היא צריכה להשלים ל-360 מעלות ולכן תהיה גם היא 90 מעלות.)
הדרך השנייה – הוכחת מקבילית ואז הוכחת מלבן
בדקו האם תוכלו להוכיח שהמרובע שלפניכם הוא מקבילית.
לא סגורים על איך להוכיח שמרובע הוא מקבילית? הסתכלו במדריך שלנו ממרובע למקבילית ותדעו איך לזהות מקבילית מקילומטרים.
לאחר מכן, תצטרכו להוכיח שהמקבילית שלפניכם היא מלבן דרך אחד מהמשפטים הבאים:
- אם יש במקבילית זווית ששווה ל-90 מעלות, היא מלבן.
- אם האלכסונים שווים במקבילית, היא מלבן.
ממקבילית למלבן
אם נתונה לכם מקבילית, תוכלו להוכיח שהיא מלבן באמצעות אחד מהמשפטים הבאים:
- אם יש במקבילית זווית ששווה ל-90 מעלות, היא מלבן.
- אם האלכסונים שווים במקבילית, היא מלבן.
שימו לב-
הגדרתו הפורמלית של מלבן היא- מקבילית בעלת זווית של 90 מעלות.
לכן, זה ברור מאליו שאם ניתקל במקבילית שבה זווית של 90 מעלות, נוכל לקבוע שהיא מלבן.
בנוסף, אחת מתכונות המלבן היא שכל אלכסוניו שווים.
לכן, נוכל לזכור את משפט ההוכחה השני ולבדוק את האלכסונים במקבילית שלפנינו.
אם האלכסונים במקבילית שווים, נוכיח שמדובר במלבן.
נהדר! עכשיו אתם יודעים את כל מה שהייתם צריכים לדעת על מלבן.
למעבר לתרגולים בנושא
