מכנה משותף

מכנה משותף

מכנה משותף הוא נושא שילווה אתכם הרבה מעתה ועד סוף לימודי המתמטיקה ולכן כדאי שתדעו למצוא אותו בקלות.
מה זה מכנה משותף?
מכנה משותף הוא מכנה שיהיה משותף וזהה בכל השברים בתרגיל. נגיע למכנה כזה בעזרת צמצום או הרחבה של השבר – פעולת כפל או חילוק.
נוכל להגיע לכמה מכנים משותפים נכונים.

נחלק את מציאת המכנה המשותף ל-3 מקרים:

המקרה הראשון - אחד המכנים המופיעים בתרגיל המקורי -  יהיה המכנה המשותף

במקרה זה, נשים לב שנצטרך להכפיל רק מכנה אחד במספר שלם כדי שיגיע לאותו מכנה כמו בשבר האחר.

בואו ונראה דוגמה:
מצאו את המכנה המשותף בתרגיל: \(\frac{2}{3}+\frac{1}{6}\)
פתרון:
נבחין שנוכל להכפיל את \(3\) כפול \(2\) כדי להגיע למכנה \(6\).
ולכן המכנה המשותף יהיה \(6\). 
נקבל:
\(\frac{4}{6}+\frac{1}{6}\)

שימו לב – כאשר אנו מכפילים את השבר כדי להגיע למכנה משותף, אנו חייבים להכפיל גם את המונה וגם את המכנה על מנת לא לשנות את ערכו של השבר.

כעת נעבור אל המקרה השני – מציאת מספר ששני המכנים בתרגיל יכולים להגיע אליו על ידי פעולת כפל.

שימו לב – לעיתים, נוכל לא להגיע לשום מספר כזה ואז נעבור ישירות למקרה השלישי.

בואו נראה דוגמה:
\(\frac{2}{4}+\frac{1}{6}\)
מצאו את המכנה המשותף בתרגיל.

פתרון:
אם נבחין במכנים, נוכל להגיע לכך ש-\(12\) הוא מספר שהמכנים יכולים להגיע אליו על ידי פעולת כפל.
אם נכפיל את \(4\) כפול \(3\), נקבל \(12\)
אם נכפיל את \(6\) כפול \(2\), נקבל \(12\)
נזכור שכשאנו מוצאים מכנה משותף אנו מבצעים את הפעולה גם על המונה ולא רק על המכנה.
נקבל:
\(\frac{6}{12}+\frac{2}{12}\)
המכנה המשותף הוא \(12\).

המקרה השלישי – מציאת המכנה המשותף על ידי מכפלת המכנים

לעיתים, לא נצליח להגיע אל מכנה משותף בעזרת הדרך הראשונה והדרך השנייה ולכן נפנה לדרך הזו.
שימו לב – הכפלת מכנים היא דרך בטוחה תמיד למציאת מכנה משותף וניתן לפעול בה באופן מיידי (אלא אם כן מבקשים למצוא את המכנה המשותף הקטן ביותר.
בואו נראה זאת בתרגיל:
\(\frac{1}{13}+\frac{2}{5}\)
מצאו את המכנה המשותף.

פתרון:
נכפיל את המכנה של השבר הראשון \(13\) בכל השבר השני ואת המכנה של השבר השני \(5\) נכפיל בכל השבר הראשון.
נזכור לבצע את הפעולה גם על המונה וגם על המכנה.
בנוסף נהוג לסמן בקו מעל השבר את פעולת הכפל באופן הבא:

\(\frac{5}{65}+\frac{26}{65}\)

המכנה המשותף הוא \(65\).

עוד תרגיל:
\(\frac{2}{3}+\frac{1}{6}\)
מצאו את המכנה המשותף בתרגיל.

פתרון:
את התרגיל הזה נוכל לפתור בכמה צורות. הוא מתאים גם למקרה הראשון, גם לשני וגם לשלישי.
בעצם, נגיע ל-\(3\) מכנים משותפים שונים, שכולם יהיו תשובה נכונה.
שימו לב – בשיטת הכפלת המכנים תוכלו להשתמש בכל תרגיל ולכן היא תמיד מומלצת לשימוש.
 אבל במידה ומבקשים למצוא את המכנה המשותף הקטן ביותר שאפשר להגיע אליו – תמיד נלך לפי הסדר – נראה קודם אם אפשר להגיע למכנה המשותף דרך המקרה הראשון, אחר כך השני ורק אז אם לא הצלחנו, נפנה לשלישי.
פתרון דרך המקרה הראשון ומציאת המכנה המשותף הקטן ביותר:

נבחין שאם הכפיל את \(3\) כפול \(2\) נגיע ל-\(6\).
נקבל:

\(\frac{4}{6}+\frac{1}{6}\)
המכנה המשותף הוא \(6\).

פתרון דרך המקרה השני – מציאת מספר משותף דרך פעולת כפל

אם נכפיל את \(6\) כפול \(2\) נגיע ל\(12\). אם נכפיל את \(3\) כפול \(4\) נגיע ל-\(12\).
נקבל:
\(\frac{8}{12}+\frac{2}{12}\)

פתרון דרך המקרה השלישי – הכפלת המכנים

נכפיל את המכנה של השבר הראשון \(3\) בשבר השני ואת המכנה של השבר השני \(6\) נכפיל בשבר הראשון.
נקבל:
\(\frac{12}{18}+\frac{3}{18}\)