מה היא טריגונומטריה? ולמה רב חובל צריך לדעת אותה?
מהי טריגונומטירה?
טריגונומטריה הוא ענף בתחום המתמטיקה החוקר את היחס בין הצלעות והזוויות במשולשים ישרי זווית. בטריגונומטריה ניתן משתמשים בכל תחום הגיאומטריה, שכן כל צורה בעלת צד ישר ניתנת לחישוב כאוסף משולשים. בנוסף, לטריגונומטריה יש קשרים מורכבים להפליא עם ענפים אחרים במתמטיקה, בפרט מספרים מרוכבים, סדרות אינסופיות, לוגריתמים וחשבון.
כיצד הגיעה הטריגונומטריה לחיינו?
המילה טריגונומטריה היא נגזרת לטינית מהמאה ה -16 מהמילים היווניות משולש (טריגונון) ומידה (מטרון). הטריגונומטריה שימשה ככלי חישובי במגוון מקצועות.
כך למשל היה ניתן לחשב את גובה התורן של סירת מפרש:
נניח שאתה צריך לדעת את גובה התורן של סירת מפרש, אך אינך יכול לטפס עליו בכדי למדוד אותו ידנית. אם התורן ניצב לסיפון וחלקו העליון של התורן קשור בחבל לסיפון, אזי התורן, הסיפון והחבל יוצרים משולש ימני. אם אנו יודעים מה הוא אורך החבל שקשור לתורן, והשיפוע שבו החבל נקשר לסיפון, נותר לנו רק להכיר חוקי טריגונומטריה בסייסיים, ונוכל לקבוע את גובה התורן.
מהו בכלל שיפוע? ואיך נחשב אותו?
שיפוע מוגדר בתור היחס בין מספר היחידות שהחבל עולה אנכית (עלייתו- Rise) לעומת מספר יחידות שהוא מגדיל אופקית (הריצה שלו-Run).
כלומר השיפוע מחושב כעלייה חלקי ריצה (Rise/Run).
בואו נבין את הרעיון טוב יותר ע"י דוגמא:
נניח שאנו מודדים את אורך החבל כ -9.1 מטרים מבסיס התורן (הריצה). במידה ונכפיל את אורך זה בשיפוע, נוכל לקבל את העלייה - כלומר גובה התורן.
אמנם, אנחנו עדיין לא יודעים את השיפוע. עם זאת, אנו יכולים למצוא את הזווית של החבל עם בסיס התורן, ולהשתמש בו כדי למצוא את השיפוע.
איך? נמצא את הזווית!
זווית היא חלק כלשהו ממעגל שלם, המוגדר כבעל 360 מעלות. את הזווית ניתן למצוא בקלות עם מד זווית.
לצורך הדוגמא בואו נניח שהזווית בין החבל לסיפון היא 71 מעלות.
אז יש לנו את האורך של בסיס התורן, יש לנו זווית, נותר לחשב את השיפוע בכדי למצוא סוף סוף את גובה התורן.
כאן נכנסות הפונקציה הטריגונומטריות היודעות לחשב את את היחס בין הצלעות במשולש ישר זווית ע"י זווית.
שם הפונקציה | איך מופיעה במחשבון | מה יודעת לחשב |
סינוס | sin | היחס בין הצלע מול הזווית והיתר |
קוסינוס | cos | היחס בין הצלע שליד הזווית והיתר |
טנגנס | tan | היחס בין הצלע מול הזווית והצלע ליד הזווית |
לא להיבהל מהמונחים החדשים, הם לגמרי פשוטים ברגע שמתרגלים אותם.
אז בואו נעשה את זה!
אם אנחנו רוצים לחשב את גובה התורן, כלומר הניצב מול הזווית בתמונה למעלה, באיזה פונקציה נשתמש?
אז כמובן שיהיה נכון להשתמש בפונקציה tan(a), בוא נראה למה:
במידה ונכניס את הזווית 71 לתוך הפונקציה נקבל את היחס הבא-
tan(71) = גובה התורן (צלע מול)/אורך בסיס התורן (צלע ליד)
נקליד במחשבון את הביטוי tan(71) ונקבל את הערך 2.9, את אורך הבסיס אנחנו כבר יודעים והוא שווה 9.1 כלומר:
2.9= גובה התורן\9.1 נותר לנו רק להכפיל את השני האגפים ב9.1 ולקבל שגובה התורן = 26.39
במידה ונרצה לחשב את אורך החבל (היתר במשולש) המחבר בין התורן לסיפון, נוכל להשתמש בפונקציות סינוס או קוסינוס (sin או cos) מכיוון שהפונקציות יודעות לחשב יחס שכולל את היתר.
ולכן, נבצע את החישוב הבא:
sin(71) = גובה התורן (צלע מול הזווית)/אורך החבל (היתר במשלוש)
נציב את הזווית 71 בתוך פונקציית הסינוס ונקבל = 0.94 כלומר:
0.94=26.39 (גובה התורן)\אורך החבל (היתר)
נכפיל את שני האגפים באורך החבל ונחלק ב0.94 ונקבל שאורך החבל שווה 28.
ניתן לבצע את אותו חישוב באמצעות פונקציית קוסינוס:
cos(71) = אורך בסיס התורן (צלע ליד הזווית)/אורך החבל (היתר במשלוש)
ונקבל: 0.32 = 9.1 (אורך בסיס התורן)/אורך החבל (היתר)
נכפיל את שני האגפים באורך החבל ונחלק ב0.32 ונקבל גם כן שאורך החבל שווה ל 28.
לסיכום, הפונקציות הטריגונומטריות מקשרות בין גדלים של זוויות במשולש לגדלים של צלעות במשולש. כלומר מאפשרות לנו למצוא גודל של זווית על פי גודל הצלעות וגודל של צלעות על פי גודל הזווית ומידע נוסף.