מה הוא שורש ריבועי ולמה משמשים שורשים ריבועיים

אז מהם אותם שורשים ריבועיים מסתוריים שנוטים לעיתים לבלבל או לסבך תלמידים, ולא רק? האמת היא שמדובר בנושא, שעל מנת להבינו יש צורך בהבנה של הקונספט של הפעולה ההפוכה.

אז מה הוא שורש ריבועי?

כאשר אנו דנים בתרגיל כמו 25=5² , אז ברור לנו, כי 5 כפול 5, כלומר המכפלה של הספרה 5 בעצמה, נותנת לנו את התוצאה 25. זהו מושג החזקה, או ליתר דיוק, החזקה השנייה, שעל מנת להפעילה, אנו כופלים את הספרה או את המספר בעצמם.

מושג השורש הריבועי הוא למעשה מושג המבטא את הפעולה ההפוכה של פעולת החזקה השנייה.

כלומר, אם נתון לנו  \(X^2=25\) ואנו צריכים למצוא את ערך ה- X, אנו מתבקשים למעשה לבצע פעולה זהה על שני האגפים של המשוואה הריבועית.

פעולה זו היא הוצאת שורש ריבועי

נקבל: \(\sqrt{X^2} = \sqrt{25}\), התוצאה המתקבלת היא X=5

נסביר כעת בצורה יותר מפורטת את הפעולה שביצענו.

• באגף השמאלי של המשוואה, השורש הריבועי מנטרל את החזקה השנייה (השורש הריבועי והחזקה השנייה הם פעולות הפוכות, זוכרים?)
• באגף הימני, אנחנו מחפשים את הספרה או המספר שאם נעלה אותם בריבוע, נקבל 25

יש לנו שני מספרים שעונים על הדרישות האלה: 5 ו - (5-).

יחד עם זאת, חשוב לזכור, כי השורש הריבועי של מספר מוגדר תמיד כמספר חיובי.

לכן אם נסכם בקצרה, בתרגיל : \(X^2=25\) לדוגמה, יהיו לנו שתי תשובות אפשריות:  5 ו - (5-).

אם נתון לנו הביטוי המתמטי   \( \sqrt{25}\) , אז התשובה היחידה תהיה: 5.

תנאים להוצאה של שורש ריבועי

• התנאי היחידי שחייב להתקיים לצורך הוצאה של שורש ריבועי הוא שהמספר תחת השורש הריבועי חייב להיות חיובי.

לא ניתן להוציא שורש ריבועי ממספר שלילי, כלומר, הביטוי \( \sqrt{-25}\) אינו חוקי ואין לו תשובה

מצד שני

• התוצאה של שורש ריבועי לא חייבת להיות בהכרח מספר שלם

כלומר, כל עוד המספר תחת השורש הוא חיובי, ניתן להוציא ממנו שורש ריבועי.

לדוגמה: \(\sqrt{89527}\approx 299.210\)

חישוב של שורשים ריבועיים פשוטים

השורשים הרביעויים הפשוטים מתבססים למעשה על לוח הכפל. נבחן מספר דוגמאות:

דוגמה א:  \(\sqrt{64}\)

פתרון: שורש ריבועי הוא, כאמור, הפעולה ההפוכה לחזקה שנייה. אם כך, נשאל את עצמנו איזה מספר בריבוע או איזה מספר יש לכפול בעצמו על מנת לקבל 64. 

היות ומתקיים: \(8^2=64 \)

אזי התשובה היא: \(\sqrt{64} = 8\)

דוגמה ב: \(\sqrt{49}\)

פתרון: גם פה נשאל את עצמנו איזה מספר בריבוע או איזה מספר יש לכפול בעצמו על מנת לקבל 49. 

היות ומתקיים : \(7^2=49 \) , אזי התשובה היא: \(\sqrt{49} = 7\)

דוגמה ג: \(\sqrt{9}\)

פתרון: על אותו עיקרון, מתקיים \(3^2=9 \), ולכן התשובה היא: \(\sqrt{9} = 3\).

פעולות חשבון ושורשים ריבועיים

בסעיף זה ניישם את מה שלמדנו עד כה בנושא השורשים הריבועיים ונראה כיצד ניתן להיעזר במידע זה בפתרון של תרגילים אלגבריים הכוללים שורשים ריבועיים.

כלל חשוב, אותו יש לזכור בבואנו לפתור תרגילים אלה הוא:

פעולת השורש הריבועי קודמת לכל אחת מארבע פעולות החשבון האחרות, הנמצאות מחוץ לשורש.

תרגיל מס' 1: 

\(10 + \sqrt{81} =\)

פתרון:

בשלב הראשון ניגש לפתרון השורש הריבועי, מכיוון ששורש ריבועי קודם לפעולת החיבור הנמצאת מחוץ לשורש הריבועי.

נקבל:  \(\sqrt{81} = 9\)

לאחר מכן נמשיך לשאר התרגיל: 19 = 10+9 .

ולכן התשובה היא \(10 + \sqrt{81} =9\)

 תרגיל מס' 2: 

\(3 \times \sqrt{16} +8=\)

פתרון:

לפנינו תרגיל מעט יותר מורכב. בשלב הראשון ניגש לפתרון השורש הריבועי, מכיוון ששורש ריבועי קודם לפעולת החיבור הנמצאת מחוץ לשורש הריבועי.

נקבל:  \(\sqrt{16} = 4\)

בשלב השני נתייחס לתרגיל כאל תרגיל אלגברה פשוט: \(3 \times 4 +8\) .

בהתאם לחוקים של פעולות החשבון, פעולות כפל וחילוק קודמות לפעולות חיבור וחיסור, ולכן נקבל : 20.

אם כך התשובה היא: \(3 \times \sqrt{16} +8=20\)

 תרגיל מס' 2: \(\sqrt{36} \div3+\sqrt{81}\times2=\)

פתרון:

גם פה, בדומה לתרגילים הבאים, בשלב הראשון נפתור את השורשים הריבועיים.

\(\sqrt{36}=6 \)

\(\sqrt{81}=9\)

נציב את המספר ונפתור לפי סדר פעולות החשבון

\(6\div3+9\times2=2+18=20\)

אם כך, התשובה היא: \(\sqrt{36} \div3+\sqrt{81}\times2=20\)