מדריך למתקשה: כפל מטריצות

           
23/06/2021   ·   6 דקות קריאה

מאיפה להתחיל?

יישר כח! הצלחתן במשימה מספר 1: הגדרת הקושי.מצאת את מה שקשה לך או שאינך מבינה עד הסוף. עכשיו, במדריך זה נלמד יחד איך לבצע כפל בין מטריצות.

מושגים

    מטריצה: יעני טבלה בתוך סוגריים. מטריצה מסמנים עם אות גדולה באנגלית. למטריצה שורות ועמודות. השורות הולכות משמאל לימין, והעמודות הולכות מעלה-מטה.
    מימדים של מטריצה: לצורך מאמר זה, נתייחס למימדים רק מבחינת כמה שורות יש, כמה עמודות יש? ובכן, אם A מטריצה הבאה:\(A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 3\\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}\). נאמר של-A יש 2 שורות ו-3 עמודות. נסמן כך:  \(A_{2\times3}\) ונאמר ש-A היא מטריצה של שתיים על שלוש. מטריצה שבה מספר השורות שווה למספר העמודות נקראת מטריצה ריבועית.
    אינדקסים: נהוג לסמן את איברי המטריצה עם שני אינדקסים, כאשר הראשון מסמן את מספר השורה, והשני את מספר העמודה. \(A_{2\times3}=\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{array}\right)\) למשל, \(a_{13}\) הוא האיבר בשורה הראשונה בעמודה השלישית של המטריצה. המקומות שבהן אינדקס השורה שווה לאינדקס העמודה נקראות אלכסון המטריצה.
    סקלר: מספר, כמו שאנחנו מכירות. למשל: \(1,2,-5,\pi...\)

     

    מתי מותר לכפול מטריצות?

    עבור שתי מטריצות A ו-B, קודם כל, נצטרך לוודא שבכלל אפשר לעשות את הפעולה A כפול B. כדי שנוכל לכפול מטריצות זו בזו, צריך להתקיים התנאי הבא:

    מספר העמודות של A = מספר השורות של B

     נסמן ב- \(AB\) את תוצאת פעולת הכפל \(A\cdot B\) ונקרא לה מטריצת המכפלה: \(A\cdot B=AB\)

    שימו לב! יש חשיבות לסדר. בדרך כלל אנחנו רגילות שכאשר כופלים שני מספרים זה בזה, מתקיימת חילופיות כפלית - \(a\cdot b=b\cdot a\). כלומר, לא משנה מה הסדר, נקבל את אותה התוצאה. אבל בכפל מטריצות, בהתאם לסדר נקבל תוצאות שונות. \(A\cdot B \neq B\cdot A\)

    פרו טיפ: כתבו את המטריצות עם סימון המימדים שלהם זו לצד זו. אם יש שוויון בין האינדקסים הפנימיים - המכפלה מוגדרת. כמוכן, האינדקסים החיצוניים יתנו לנו את מימדי המכפלה. לדוגמא: \(A_{5\times7}\cdot B_{7\times2}\) מוגדרת, וממדי המכפלה הן: \(AB_{5\times2}\).

    למה?

    מטריצות הן בעצמן סוג של וקטורים. לכן הכפל ביניהן הוא לא כפל בסקלר כמו שאנחנו מכירות - אלא כפל בין וקטורים (= טיפה יותר מסורבל). הסיבה היא שלוקטורים, על פי הגדרתם, יש כמה מאפיינים - גודל וכיוון. לכפול גדלים אנחנו יודעות, אבל איך אפשר לכפול כיוונים?? (שאלה רטורית, אל תענו.)

    תרגיל 1

    לפניכן 6 מטריצות. עבור כל זוג קבעו האם ניתן לבצע כפל מטריצות.
    \(A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1\\ 0 & 2 & 1\\ -1 & 1 & 2 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc} 3 & 0\\ 0 & \frac{1}{\sqrt{3}}\\ 0 & -3 \end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ccc} 5 & 0 & -3\\ 4 & \pi & -7 \end{array}\right), O=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right),K=\left(\begin{array}{cc} \frac{1}{4} & 0\\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right),I=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\)

    תשובה:

    המכפלות המוגדרות הן: AB, CA, OA, AI, IA, BC, CB, OB, BK, IB, CO, KC, CI, IC, OI, IO.

     

    איך עושות כפל מטריצות?

    כפל מטריצות כוללת בתוכה פעולות כפל בין האיברים וגם פעולות חיבור. להלן התהליך:

    עכשיו:

    1. בוחרות שורה במטריצה A ועמודה במטריצה B (מומלץ להתחיל משורה 1 ועמודה 1)
    2. כופלות איבר איבר בהתאם למיקום שלהם עד שמסיימיות את השורה 
    3. מחברות ביחד את כל התוצאות שקיבלנו לסכום אחד גדול
    4. הסכום הזה הולך למיקום המתאים במטריצת התוצאה C
    5. עוברות לעמודה הבאה של B
    6. חוזרות על צעדים 1-4 על כל אחת מהעמודות של המטריצה B
    7. עוברות לשורה הבאה של מטריצה A
    8. חוזרות על 1-5 עד שנגמרו השורות של A

    ויזואילית:

    נשמע מסובך? אוקיי, זה טיפה מבלבל בהתחלה, אבל לא לדאוג, מתרגלות מהר.

     

    דוגמא

    תהיינה A ו-B המטריצות הבאות:

    \(A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 3\\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}-2 & 3\\ 5 & 1 \end{pmatrix}\)

    בדקו האם המכפלות AB ו-BA מוגדרות. אם כן, מצאו את מטריצות המכפלה.

    פתרון 

    בדיקה: האם מותר?

    • מטריצה A:
      • שורות = 2
      • עמודות = 3
    • מטריצה B:
      • שורות = 2
      • עמודות = 2

    האם AB מוגדר? לא, מכיוון שמספר העמודות של A גדולה ממספר השורות של B. \(3\neq 2\)

    האם BA מוגדר? תשובה: כן, כי מתקיים שמספר העמודות של B = מספר העמודות של A. \(2=2\)

    נמצא את BA.

    ראשית, נסדר את המטריצות שלנו בצמוד זו לזו כך ש-B משמאל ו-A מימין. נתחיל בשורה הראשונה של B. נכפול אותה בעמודה הראשונה של A. 

    הכפל מתבצע רק בין איברים באותו אינדקס. כלומר: הראשון בשורה כפול הראשון בעמודה, השני בשורה כפול השני בעמודה, וכו'. בחרנו שורה, ולכן האינדקס של השורה נשאר קבוע ב-B, ומה שמשתנה זה רק אינדקס העמודה. בחרנו עמודה של A, ולכן אינדקס העמודה נשאר קבוע, ומה שמשתנה הוא רק אינדקס השורה.

    נעבור לאיבר השני בשורה הראשונה, ונכפול אותו באיבר השני בעמודה הראשונה.

    נחבר בין כל המכפלות שקיבלנו \((-2)\cdot 1 + 3\cdot 2 = 4\)

    התוצאה תהיה במקום הראשון בשורה הראשונה בעמודה הראשונה של מטריצת המכפלה \(BA\).

    כעת נישאר עם השורה הראשונה של B ונעבור לעמודה השנייה של A. שוב, איבר ראשון כפול איבר ראשון:

     

    ונעבור לאיבר שני כפול איבר שני:

     

    נחבר:\((-2)\cdot 0 + 3\cdot (-1) = 0-3=-3\)

    לכן המספר \( -3\) ישב במקום ראשון בשורה הראשונה בעמודה השנייה של BA.

    נמשיך לעמודה השלישית:

    כאשר סיימנו את העמודה השלישית, נעבור לשורה השנייה של B ונחזור על הפעולות עבור כל אחת מהעמודות של A.

     

    כאשר סיימנו לכפול את השורה השנייה של B בכל אחת מהעמודות של A, נעבור לחישובי התוצאות (אם לא כבר חישבנו קודם):

    \(BA=\begin{pmatrix}-2 & 3\\ 5 & 1 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1 & 0 & 3\\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(-2)\cdot1+3\cdot2 & \left(-2\right)\cdot0+3\cdot\left(-1\right) & \left(-2\right)\cdot3+3\cdot0\\ 5\cdot1+1\cdot2 & 5\cdot0+1\cdot\left(-1\right) & 5\cdot3+1\cdot0 \end{pmatrix}=\)

    \(=\begin{pmatrix}\left(-2\right)+6=4 & 0-3=-3 & -6+0=-6\\ 5+2=7 & 0-1=-1 & 15+0=15 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & -3 & -6\\ 7 & -1 & 15 \end{pmatrix}\)

    ונרשום את התוצאה הסופית:

    \(BA=\begin{pmatrix}4 & -3 & -6\\ 7 & -1 & 15 \end{pmatrix}\)

    וסיימנו.

    פרו טיפ: תעשו את התרגילים.

     

    תרגיל 2
    א. עבור המטריצות מתרגיל 1, מצאו את המכפלות הבאות:
    \(A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1\\ 0 & 2 & 1\\ -1 & 1 & 2 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc} 3 & 0\\ 0 & \frac{1}{\sqrt{3}}\\ 0 & -3 \end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ccc} 5 & 0 & -3\\ 4 & \pi & -7 \end{array}\right), O=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right),K=\left(\begin{array}{cc} \frac{1}{4} & 0\\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right),I=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\)
    1. \(BC\)
    2. \(CB\)
    3. \(OA\)
    4. \(IB\)
    5. \(KC\)
    6.  \(A^2\) (זה בדיוק מה שנראה לכן: פשוט A כפול עצמה.)
    ב. מה ניתן לומר על תוצאת כפל במטריצה O? מה לגבי המטריצה I?

    תשובות:

    א.\(BC=\left(\begin{array}{ccc} 15 & 0 & -9\\ \frac{4}{\sqrt{3}} & \frac{\pi}{\sqrt{3}} & -\frac{7}{\sqrt{3}}\\ -12 & -3\pi & 21 \end{array}\right);CB=\left(\begin{array}{cc} 15 & 9\\ 12 & 21+\frac{\pi}{\sqrt{3}} \end{array}\right);OA=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\)

    \(IB=\left(\begin{array}{cc} 3 & 0\\ 0 & \frac{1}{\sqrt{3}}\\ 0 & -3 \end{array}\right);KC=\left(\begin{array}{ccc} \frac{5}{4} & 0 & -\frac{3}{4}\\ -\frac{1}{2} & \frac{\pi}{2} & -2 \end{array}\right);A^{2}=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 7 & 5\\ -1 & 5 & 4\\ -3 & 2 & 4 \end{array}\right)\)

    ב. המטריצה \(O\) בעלת התכונה שעבור כל מטריצה \(M\) (אם הכפל מוגדר, כמובן), מתקיים \(MO=OM=O\). לכן O נקראת מטריצת האפס. המטריצה \(I\) בעלת התכונה שלכל מטריצה \(M\) מתקיים: \(MI=IM=M\) ולכן \(I\) נקראת מטריצת היחידה או מטריצת הזהות. מקובל לסמן אותה גם \(​​Id\).

    לסיכום

    אז:

    • למדנו לכפול מטריצות
    • קודם למדנו מתי מותר לעשות את זה 
    • ואז, במידה ומותר, למדנו איך לכפול בין שתי מטריצות.

    שאלות? אל תהססו לפנות אלי או להגיב.

    יאללה, לכו תעשו שיעורי בית. נתראה בנושא הבא.

               
    מורה פרטית ליאורה הלוי
    צור קשר עם ליאורה
    4.8 (19)
     
    ·
     
    86 שיעורים
    צור קשר עם ליאורה
    ליאורה הלוי היא מורה למתמטיקה המתמקדת בסיוע לתלמידים עם חרדה הקשורה למתמטיקה. בוגרת תואר ראשון במתמטיקה וחינוך מהאוניברסיטה העברית. מלמדת כבר מלא זמן ומאוד אוהבת מתמטיקה. תוכלו ללמוד איתה כל נושא במתמטיקה של בית הספר כולל לבגרות. צרו קשר!