איך פותרים אי שוויונות ממעלה שניה?

במאמר זה נלמד לפתור אי שיויון ריבועי מהצורה:
ax2+bx+c>0

או

ax2+bx+c<0

לשם כך נשתמש בפתרון גראפי, לפי השלבים הבאים:

שלב ראשון: שרטוט הגרף של הפונקציה:

f(x)= ax2+bx+c

שלב שני: מציאת התחום או תחומים בהם גרף הפונקציה הוא חיובי, כלומר נמצא מעל ציר ה- X. (במקרה שסימן אי השוויון הוא גדול מאפס)

או התחומים בהם הגרף הוא שלישי, מתחת לציר ה X (במקרה שסימן אי השוויון הוא קטן מאפס)

נדגים את אופן הפתרון על אי השוויון הבא:

x2 +6x−27>0

כלומר:

a=1

b=6

c=−27

שלב ראשון:  שרטוט גרף הפונקציה

א. נקבע האם הפרבולה נפתחת כלפי מעלה ("מחייכת") או כלפי מטה ("עצובה"):

אם המקדם a   הוא חיובי  - הפרבולה תהיה "מחייכת"

אם המקדם a   הוא שלילי - הפרבולה תהיה "עצובה".

במקרה שלנו a=1, ולכן הפרבולה תהיה "מחייכת".

ב. נמצא את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה- X:

הפרבולה חותכת את ציר ה-X כאשר f(x)=0,

ולכן נקודות החיתוך עם ציר ה-X הן בעצם השורשים (הפתרונות) של המשואה:

ax2+bx+c=0.

במקרה שלנו, נמצא את הפתרונות של המשוואה:

x2 +6x−27=0

נעשה זאת באמצעות נוסחת השורשים של משוואה ריבועית.

הסבר לפתרון משוואה ריבועית באמצעות נוסחת השורשים - תוכלו למצוא כאן

שורשי המשואה שלנו הם x=3 ו- x=−9

מכאן שנקודות החיתוך של הפרבולה שלנו עם ציר ה-X הן:

(3,0) ו-(−9,0)

ג. כעת, נשרטט את הפרבולה:

שלב שני: מציאת תחומי הפתרון

כיוון שבאי השוויון שלנו

x2 +6x−27>0

סימן אי השוויון הוא "גדול מאפס"

נבדוק באיזה תחומים הפרבולה נמצאת מעל ציר ה-X:

ניתן לראות שהגרף נמצא מעל ציר הX כאשר:

 x<−9  או x>3

ואילו הם תחומי הפתרון של אי השוויון שלנו.