כפל לוגריתמים

כפל לוגריתמים

כפל  לוגריתמים עם בסיס זהה 

כדי לפתור כפל לוגריתמים עליכם להכיר את הכלל הבא:
\(log_a⁡(x\cdot y)=log_a⁡x+log_a⁡y\)
כאשר יש פעולת כפל בתוכן הלוג נוכל לפצל את הלוג לתרגיל חיבור עם בסיס זהה כאשר לוג \(1\) יהיה עם תוכן של אחד מהכופלים ולוג שני יהיה עם תוכן של הכופל השני.
ניתן להמיר את תרגיל הכפל לתרגיל חיבור ותרגיל חיבור לתרגיל כפל עם לוג אחד לפי הכלל כל עוד הבסיס זהה.

בואו ונראה דוגמה:
\(log_4⁡(64\cdot16)=\)
לפנינו תרגיל עם לוג ובתוכן כפל. אם היינו כופלים את מה שיש בתוך הסוגריים היינו מקבלים דבר כזה:
\(log_4⁡(1024)=\)

כמובן שבזכות הכלל, אנחנו יכולים לפתור את התרגיל הזה בדרך הרבה יותר קלה ומהירה.
כל מה שנצטרך לעשות הוא לפצל את התרגיל לתרגיל חיבור עם \(2\) בסיסים זהים – בתרגיל הבסיס הוא \(4\).
זה יראה ככה:
\(log_4⁡(64\cdot16)=log_4⁡64+log_4⁡16\)

כעת אנחנו יכולים לפתור את התרגיל הרבה יותר בקלות!

תזכורת -
חוק הגדרת הלוג הוא:
\(log_a⁡x=b\)
\(X=a^b\)
כאשר:
\(a\)  הוא בסיס הלוג
\(X\)  הוא מה שמופיע בתוך הלוג, יכול להופיע גם בתוך סוגריים
\(b\)  היא החזקה שאנו מעלים בה את בסיס הלוג כדי לקבל את המספר המופיע בתוך הלוג.

ולכן נשאל את עצמנו – באיזו חזקה נצטרך להעלות את \(4\) כדי לקבל \(64\)? התשובה היא \(3\).
ובאיזו חזקה נצטרך להעלות את \(4\) כדי לקבל \(16\)? התשובה היא \(2\).
קיבלנו:
\(log_4⁡64+log_4⁡16=3+2=5\)

בואו ונפתור תרגיל נוסף!
\(log_6⁡(36\cdot216)=\)

פתרון:
כדי לפתור את התרגיל הזה נשתמש בכלל שלמדנו על כפל לוגריתמים.
נוכל לפצל את התרגיל לתרגיל חיבור שבו הבסיס זהה ושווה ל\(6\).
נקבל:
\(log_6⁡36+log_6⁡216=\)
כעת נוכל לפתור בקלות.
אנו יודעים שכדי להגיע ל\(36\) צריך להעלות את \(6\) בחזקת \(2\) ולכן
\(log_6⁡36=2\)
ושכדי להגיע ל\(216\) אנו צריכים להעלות את \(6\) בחזקת \(3\) ולכן
\(log_6⁡216=3\)
נציב בתרגיל ונקבל:
\(2+3=5\)
\(5\) היא התשובה הסופית.

ונמשיך לעוד תרגיל!
\(log_6⁡2+log_6⁡18=\)

שימו לב! על פניו תרגיל זה הוא תרגיל חיבור בין לוגים עם בסיס זהה.. אבל! אנו משתמשים בכלל שלמדנו עם כפל לוגריתמים!

דרך הפתרון:
ננסה לפתור את התרגיל בלי הכלל –
\(log_6⁡2=\)
אם נחשוב באיזו חזה צריך להעלות את \(6\) כדי לקבל \(2\)... ניתקל בבעיה. זהו לא פתרון אינטואיטיבי
אותו דבר עם \(log_6⁡18=\)
באיזו חזקה נצטרך להעלות את \(6\) כדי לקבל \(18\)? גם שאלה טובה..
לכן, משמש בכלל שאומר שאנו יכולים להכפיל את \(2\) תכני הלוג על אותו בסיס. כלומר נקבל ש:

\(log_6⁡2+log_6⁡18=log_6⁡(2\cdot18)\)
\(=log_6⁡36\)
איזה יופי! כולנו עכשיו מבינים באופן מאוד אינטואיטיבי שכדי להגיע ל\(36\) אנו צריכים להעלות את \(6\) בחזקת \(2\)!
ולכן הפתרון הוא \(2\). וזו התשובה הסופית.

מה למדנו? על הכלל בכפל שלמדנו חל חוק החילוף.
הוא עובד על שני הצדדים – אפשר להמיר את תרגיל הכפל לתרגיל חיבור ותרגיל חיבור אפשר להמיר ללוג אחד עם תוכן מוכפל.
כל זאת – רק במידה והבסיס זהה.

הערה - במידה ויש כפל לוגריתמים עם בסיסים שאינם זהים, תוכלו לנסות להמיר את בסיס הלוג לפי החוקים שלמדתם.