כל פעולות החשבון

סדר פעולות חשבון - כל פעולות החשבון 

כאשר אנחנו באים לפתור תרגיל, תמיד נפעל לפי סדר פעולות החשבון:

1.    מקרה מיוחד – קו שבר
2.    סוגריים
3.    שורשים וחזקות
4.    שאר המקרים המיוחדים – מספר 0, מספר 1 ומספרים הופכיים
5.    כפל וחילוק
6.    חיבור וחיסור

1. קו שבר ותרגיל שנמצא בתוך השבר

קו שבר מבטא פעולת חילוק רגילה לגמרי, וכך נכון להתייחס אליו. אבל אם נתקלתם בקו שבר שבמונה שלו יש פעולת חשבון כלשהי – חיבור חיסור, כפל או חילוק – תהיו חייבים להתייחס למונה כאילו הוא נמצא בסוגריים וזה בעצם הפעולה הראשונה שתעשו כשתיתקלו בתרגיל כזה.
שימו לב – גם בתרגיל שנמצא בשבר יכול להיות כמה פעולות חשבון ותצטרכו לפתור אותו לפי הסדר הנכון.

זיכרו – טיפול בתרגיל בתוך השבר הוא השלב הראשון אפילו לפני סוגריים!

בואו נראה דוגמה לתרגיל כזה:

לדוגמה:
\((3+2)\cdot\frac{10-4}{6}+5\cdot2=\)

פתרון:
בתרגיל הזה יש לנו גם סוגריים שישר מושכות אותנו לפעולה אבל גם מונה עם פעולת חשבון כלשהי. הדבר הראשון שנעשה הוא "לסדר" את המונה ורק אז נמשיך בפתרון לפי סדר פעולות חשבון.
\((3+2)\cdot\frac{6}{6}+5\cdot2=\)
כעת אחרי שפתרנו את התרגיל שהיה במונה נמשיך לפי סדר פעולות חשבון נכון – סוגריים – כפל/ חילוק ואז חיבור חיסור. נקבל:
\(5\cdot\frac{6}{6}+5\cdot2=\)
\(5\cdot1+5\cdot2=\)
\(5+5\cdot2=\)
\(15\)

תרגיל נוסף:
\((5+1)-2\cdot2+\frac{2\cdot(3-1)}{1\cdot2}=\)

פתרון:
אנחנו רואים שבתוך השבר גם במונה וגם במכנה יש תרגילים ולכן קודם נטפל בשבר.
נשים לב שמונה יש סוגריים ונפתור לפי סדר נכון. נקבל:

\((5+1)-2\cdot2+\frac{2\cdot2}{2}=\)
\((5+1)-2\cdot2+\frac{4}{2}=\)

כעת נמשיך לפי סדר נכון:
סוגריים, כפל וחילוק חיבור וחיסור ונקבל:
\(6-2\cdot2+2=\)
אחרי שטיפלנו בסוגריים ובפעולת החילוק של השבר נמשיך:

\(6-4+2=\)
\(2+2=4\)
תוצאת התרגיל היא \(4\).

2. סוגריים

מיד לאחר טיפול במונה של קו שבר אם יש כזה, נעבור לסוגריים.
בחלק מהתרגילים יהיו גם סוגריים חיצוניים וגם פנימיים.
נתחיל לפתור את הסוגריים הפנימיים ביותר – גם את התרגיל שנמצא בתוך הסוגריים נפתור לפי סדר פעולות נכון – כפל וחילוק ואז חיבור וחיסור. אם זה יקל עלינו נוכל לכתוב בקשת קטנה את התוצאה מעל הסוגריים כדי להמשיך לפתור.
לאחר מכן נמשיך אל הסוגריים החיצוניים, לא נתעצל ונכתוב את התרגיל מחדש עם תוצאות הסוגריים.

לדוגמה:
\((2+16\cdot(8+1):3)+5)+3=\)
בתרגיל זה אנו רואים גם סוגריים חיצוניים וגם סוגריים פנימיים.
אל דאגה נפתור אותו צעד אחר צעד.
נתחיל בפתרון של הפנימיים ביותר:
\((2+16\cdot(8+1):3)+5)+3=\)
\((2+16\cdot(9:3)+5)+3=\)
עכשיו נמשיך עם הסוגריים הפנימיים, נכתוב את תוצאתם וניפטר מהם:
\((2+16\cdot3+5)+3=\)
 כעת נפתור את הסוגריים החיצוניים לפי סדר פעולות חשבון –
\((2+48+5)+3=\)
\(55+3=58\)
התוצאה היא \(58\).

דוגמה נוספת:
\((5+23\cdot(2+1\cdot3):5)+3= \)
בתרגיל זה אנו רואים גם סוגריים חיצוניים וגם סוגריים פנימיים.
נתחיל בפתרון של הפנימיים:
\((5+23\cdot5:5)+3= \)
נפטרנו מהסוגריים הפנימיים וכעת נמשיך אל פתרון הסוגריים שנותרו:
\((5+115:5)+3=\)
נשים לב שאנחנו פותרים לפי סדר פעולות חשבון גם את התרגיל בסוגריים ונמשיך:
\((5+23)+3=29\)

3. שורשים וחזקות 

מיד לאחר הטיפול בסוגריים, נעבור לטפל בשורשים וחזקות לפני שנעבור אל פעולות החשבון כפל וחילוק וחיבור וחיסור.
כאשר אנו מטפלים בשורשים ובחזקות אין חשיבות לסדר של שמאל לימין. הטיפול הוא קוסמטי בלבד ולא משפיע על ערך המספרים.

חזקה – נכפיל את בסיס החזקה בעצמו כמספר הפעמים המופיע במעריך החזקה (המספר הקטן מימין למעלה).
תזכורת - כאשר יש מספר בחזקת \(0\) = התוצאה תמיד תהיה \(1\).

שורש – חזקת חצי – איזה מספר חיובי ייתן את המספר שכתוב בתוך השורש אם נכפיל אותו בעצמו.
תזכורת – נוסחאות השורשים:

 שורש של מכפלה
\(\sqrt{(a\cdot b)}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\)

שורש של מנה
\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)

שורש של שורש
\(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}\)

בואו ונתרגל:
\((3^2+5)+4:2=\)

פתרון:
בתרגיל שלפנינו יש סוגריים ובתוכם מספר עם חזקה.
כדי לפתור את הסוגריים נצטרך לטפל בחזקה. נקבל:
\((9+5)+4:2=\)
נפתור את הסוגריים ונמשיך:
\(14+4:2=\)
כעת נמשיך אל החילוק לפי הסדר הנכון ונקבל:
\(14+2=16\)
התוצאה היא \(16\).

4. שאר המקרים המיוחדים

למקרים המיוחדים הללו אין עדיפות בסדר פעולות חשבון, אך זיהוי שלהם יכול במקרים רבות לחסוך לכם ביצוע של פעולות מיותרות, שרק מבלבלות את התרגיל. לכן, ניתן לשלב אותם בהתאם לפעולה הרלוונטית (כפל וחילוק או חיבור וחיסור), ולשים לב אליהם כדי להקל על הפתרון.

מספר \(0\)

חיבור וחיסור של המספר \(0\) לא משפיעים על המספר אליו מחברים או מחסירים \(0\).
כפל ב-\(0\) מאפס את המספר או את הביטוי אותו כופלים ב- \(0\).
אם נחלק \(0\) חלקי מספר – נקבל \(0\). 
אם נחלק מספר חלקי \(0\) – נקבל טעות – אין משמעות.

מספר \(1\) 

מספר שנכפול אותו ב-\(1\) ישאר זהה.
מספר שנחלק אותו ב-\(1\) ישאר זהה.

מספרים הופכיים 

כאשר \(a \) שונה מ\(0\)
\(a\cdot\frac{1}{a}=1\)

לדוגמה
אם תיתקלו בתרגיל כזה:
\(20+7\cdot\frac{1}{7}+5:1=\)
תוכלו מיד לשים לב למספרים ההופכיים ובמקום הביטוי \(7\cdot\frac{1}{7}\)
תוכלו לרשום \(1\)
נקבל:
\(20+1+5:1=\)
נמשיך לפתור 
\(20+1+5=26\)

דוגמה נוספת
אם תיתקלו בתרגיל כזה:
\(12+2\cdot\frac{1}{2}+6:1=\)
תוכלו מיד לשים לב למספרים ההופכיים ובמקום הביטוי \(2\cdot\frac{1}{2}\)
תוכלו לרשום \(1\)
נקבל:
\(12+1+6:1=\)
נמשיך לפתור 
\(12+1+6=19\)

חילוק וכפל מספרים הופכיים

\(\frac{a}{\frac{1}{b}}=a\cdot b\)

5. כפל וחילוק

כפל וחילוק הם הפעולה השנייה מיד לאחר הטיפול בסוגריים. נבצע כפל וחילוק לפני חיבור וחיסור.
אם יש כפל וחילוק בתוך סוגריים, כמובן שנפנה אליהם קודם – משמאל לימין.

6. חיבור וחיסור

חיבור וחיסור הם השלב האחרון בסדר פעולות חשבון. נבצע חיבור וחיסור משמאל לימין. 
שימו לב – אם חיבור וחיסור נמצאים בתוך סוגריים כמובן שנתייחס אליהם קודם לכן.