כל מה שרצית לדעת על תחום הגדרה של פונקציה
תתארו את הסיטואציה הבאה: את\ה אחרי מבחן במתמטיקה, הלך לך טוב, אך ביום שבו קיבלת את המבחן חזרה גילית שהלך לך תרגיל שלם בגלל סעיף אחד לא נכון. בהרבה מהמקרים מציאת תחום ההגדרה של פונקציה הוא הסעיף הזה... מציאת תחום ההגדרה של פונקציה הוא השלב הראשון אותו מבצעים בכל תרגיל המשלב פונקציות בבחינות הבגרות במתמטיקה. במאמר זה אסביר מהבסיס את עניין תחום ההגדרה של פונקציות, כדי שלאחר קריאתו לא תאלצו להתמודד עם הסיטואציה שתיארת בהתחלה.
מילון מושגים:
לפני שניכנס למאמר עצמו, בואו נעבור על המושגים שאשתמש בהם ולא אסביר אותם במאמר:
- משתנה – מספר לא ידוע שמסומן לרוב באות X, אך יכול להיות מסומן על ידי כל אות אחרת.
- מספר ממשי – כל מספר על ציר המספרים הממשיים.
- שורש – היא הפעולה ההפוכה להעלאה בחזקה.
מהי פונקציה?
לפני שאנחנו נתחיל לדבר על תחום הגדרה של פונקציה, עלינו להבין מהי פונקציה. נדמה את הפונקציה (מסומנת לרוב ב-(f למכונה שמקבלת קלט (נסמן אותו במשתנה X) ולכל קלט היא מייצרת פלט אחד בלבד (נסמן אותו כ- f(x) ). אם נצייר את מה שהגדרנו עכשיו, פונקציה תיראה כך:
אם שמת לב, בהגדרה אמרנו שלכל קלט פונקציה מייצרת פלט אחד בלבד. כלומר, מכונה שמקבלת קלט אחד אך מייצרת יותר מפלט אחד, היא לא פונקציה.
המצב הזה יראה כך:
לאחר שהבנו מהי פונקציה בכללי, נבין מהי פונקציה במתמטיקה באמצעות דוגמה:
זוהי פונקציה שבה המשתנה X הוא הקלט שלה. בשביל לדעת מהו הפלט ל-X מסוים, נחליף את X במספר ממשי (5 לדוגמה) ונחשב:
. כך אפשר לעשות במקרה הזה לכל מספר ממשי.
מהו תחום הגדרה של פונקציה?
לאחר שלמדנו מהי פונקציה, נביא דוגמה נוספת של פונקציה שתעזור להבין מהו תחום הגדרה. נגדיר את הפונקציה הבאה:
. עכשיו, נתחיל בהצבת מספרים לדוגמה לתוך הפונקציה:
, 
, אך מה יקרה אם נציב 0 במקום X? ידוע לנו שחילוק ב-0 נותן תוצאה לא מוגדרת, לכן גם הפונקציה לא מוגדרת ב- 
. בשביל להבין איך פונקציה מתנהגת ומה התכונות שלה, עלינו לדעת איפה היא מוגדרת, מכאן בא הרעיון של תחום הגדרה:
תחום הגדרה של פונקציה f הוא קבוצת כל המספרים אותם ניתן להציב ב-f ובשבילם היא תהיה מוגדרת.
נחזור לדוגמה הקודמת. מהמבנה של הפונקציה אפשר להסיק שכל מספר ממשי שנציב בפונקציה ייתן תוצאה ממשית, חוץ מהמספר 0 שייתן תוצאה לא מוגדרת. מכאן, תחום ההגדרה של הפונקציה יהיה כל מספר ממשי חוץ מ-0. ניתן לכתוב את זה כך:
.
טוב, הבנו מהו תחום הגדרה, אבל איך מוצאים אותו בפונקציות שניתקל בהן?:
פולינום:
פולינום הוא פונקציית חזקה. דוגמאות לפולינום הן הפונקציות:
בפולינומים אין אפשרות להציב מספר ממשי שיגרום לתוצאה לא מוגדרת, לכן פולינומים מוגדרים בכל תחום המספרים הממשיים. במבחן תוכלו לכתוב שתחום ההגדרה הוא: כל X. דרך אחרת לכתוב זאת: 
.
פונקציה רציונלית:
פונקציה רציונלית מוגדרת כחילוק בין שתי פונקציות פולינום. דוגמאות לפונקציות רציונליות:
בשביל שפונקציה רציונלית תהיה מוגדרת המכנה שלה צריך להיות שונה מאפס. כדי לבדוק איפה היא לא תהיה מוגדרת, צריך למצוא באילו מספרים המכנה שלה מתאפס.
ניקח לדוגמה את הפונקציה 
: בשביל למצוא איפה המכנה שלה מתאפס עלינו לפתור את המשוואה הבאה: 
. הפתרון הוא שהמכנה מתאפס כאשר 
. מכאן, תחום ההגדרה של הפונקציה הוא 
.
פונקציית שורש:
דוגמאות לפונקציות שורש:
פונקציית שורש מוגדרת כשהביטוי בתוך השורש אי שלילי, כלומר חיובי או שווה לאפס. ניקח לדוגמה את הפונקציה 
: היא מוגדרת כאשר הביטוי בתוך השורש (X במקרה הזה) גדול או שווה לאפס. מכאן, תחום ההגדרה הוא 
. במקרה של עלינו לפתור את המשוואה 
ויוצא שתחום ההגדרה שלה הוא 
.
פונקציה טריגונומטרית:
הפונקציות 
מוגדרות לכל X.
את תחום ההגדרה של הפונקציה 
ניתן למצוא אם נכתוב אותה בצורה הבאה:
זוהי פונקציה רציונלית, לכן עלינו לדעת מתי המכנה מתאפס. 
מתאפס בכל 
כאשר K שלם. מכאן ניתן להסיק שתחום ההגדרה של הוא 
פונקציה מעריכית:
פונקציות מעריכיות הן פונקציות כגון:
. פונקציות מעריכיות מוגדרות לכל X כל עוד לא מופיעות פונקציות רציונליות במעריך או מחוץ לביטוי החזקה. למשל הפונקציה לא מוגדרת בנקודה 
ולכן תחום ההגדרה שלה הוא
פונקציות לוגריתמיות:
פונקציות לוגריתמיות הן פונקציות כגון: 
. פונקציות לוגריתמיות מוגדרות לכל X גדול מאפס.
