יחס, פרופורציה וקנה מידה באים לתאר כיצד מספרים או ערכים מספריים מסוימים מתייחסים זה כלפי זה. באופן זה, ניתן תמיד לחשב את הערכים המוחלטים של אותם הערכים. נהוג לקרוא יחס מתמטי משמאל לימין.
יחס בין גורמים מתאר פי כמה גדול או קטן גורם אחד מהגורם השני.
פרופורציה היא יחס שווה בין שני גורמים.
קנה מידה הוא יחס בין הגודל בשרטוט לגודל במציאות.
יחס מתאר לנו את "יחסי הכוחות" במאגר מסוים.
היחס מקשר לנו בין הגורמים הנתונים ומתאר לנו פי כמה גדול או קטן גורם אחד מהגורם השני.
בואו ונראה דוגמה מהחיים:
בכיתה מסוימת, כששואלים מה היחס בין הבנים לבנות, מתכוונים ל- על כל מספר מסוים של בנים, כמה בנות יש.
או – אם בכד ישנם כדורים אדומים ולבנים, היחס ביניהם, יכול לתאר לנו על כל מספר מסוים של כדורים לבנים, כמה אדומים יש או להפך.
את השפה העברית- אנו קוראים מימין למשאל ומתמטיקה אנו קוראים משמאל לימין. לכן,
אנו מתאימים בין המילה הכתובה קודם ב-ימין למספר המופיע משמאל.
כך, נוצר מעין איקס.
בואו ונראה דוגמה:
מאחר והמילה הכתובה הראשונה היא - סגולים, היא מייצגת את המספר השמאלי ביותר.
באמת נוכל לראות, שעל כל 3 כדורים סגולים, נמצאים 2 כדורים ירוקים.
שימו לב –
יחס יכול להיראות גם כמו שבר: \(\frac{3}{2}\) ואז נקרא אותו מלמעלה למטה באופן רגיל.
היחס בין עטים וטושים בקלמר של אריאל הוא \(2:1\).
איזה מספר מתייחס לעטים ואיזה מספר מתייחס לטושים?
בנוסף, מה יש יותר בקלמר של אריאל באופן כללי?
פתרון:
נסתכל על המשפט, היחס בין עטים וטושים בקלמר של אריאל –
המילה המופיעה קודם היא עטים.
לכן, כאשר נקרא את היחס, נייחס את המספר הראשון מצד שמאל אל המילה עטים.
כלומר- 2 מתייחס לעטים ו- 1 מתייחס לטושים.
היחס אומר, שעל כל 2 עטים בקלמר יש רק טוש 1.
לכן, באופן כללי, בקלמר של אריאל יש יותר עטים מטושים. (כפול עטים מטושים)
יכולים להיות בקלמר של אריאל:
4 עטים, 2 טושים
8 עטים, 4 טושים
וכן הלאה.
כל עוד היחס בין העטים לטושים הוא \(2:1\), היחס נשמר.
במידה ונתון שיחס התפוחים והתפוזים בסלסלת פרות הוא \(2:3\). מספר הפרות הכולל בתוך הסלסלה הוא 25.
אנו מתבקשים לחשב את מספר התפוחים והתפוזים בתוך הסלסלה.
ניתן להסיק, כי 2 מייצג את מספר התפוחים, ואילו 3 מייצג את מספר התפוזים.
נסמן את שניהם באמצעות הכנסת משתנה \(X\).
נבנה משוואה פשוטה:
\(2X+3X=25\)
\(5X=25\)
\(X=5\)
מכאן נובע, כי מספר התפוחים הוא 10 (\(2X\)), ואילו מספר התפוזים הוא 15 (\(3X\)).
נוכל תמיד לחזור ולבדוק את עצמנו, ולראות כי הסכום הכולל של התפוחים והתפוזים הוא 25, כפי שמופיע בנתון הראשוני.
יחס של חלק מסוים ביחס לקבוצה
אנו יכולים להיתקל ביחס של גורם כלפי כל הקבוצה.
לדוגמה- היחס בין תפוחים לכלל הפירות במקרר הוא \(3:5\)
המשמעות היא שמבין כל – 5 הפירות במקרר, 3 מהם תפוחים.
יחסים שווים
על מנת לפתור שאלות ביחס בקלות ולהבין טוב יותר את נושא היחסים, כדאי שתבינו מהם יחסים שווים.
יחסים שווים או שקולים הם בעצם יחסים שנראים שונה – מבוטאים שונה,
אך בעזרת צמצום או הרחבה, נגיע לאותו היחס בדיוק.
חשבו על זה כך,
אם מולכם עומדים שני שברים:
\(\frac{2000}{4000}\)
ו-
\(\frac{2}{4}\)
נוכל לצמצם את השבר הגדול ולהגיע למצב בו
ויותר מזה, נוכל גם לצמצם את השבר הקטן ולהגיע למצב בו:
בעצם, נוכל להגיד ש:
\(\frac{2000}{4000}=\frac{2}{4}\)
כולם ביטויים – יחסים, שווים.
זוכרים שאמרנו לכם שיחס יכול להופיע גם בצורת שבר?
לכן, אותו חוק פועל בדיוק על היחסים שלמדנו.
נוכל לצמצם את שני הגורמים ביחס או להרחיב אותם באותו גורם ולקבל יחסים שקולים.
על מנת לפתור שאלות בקלות, תמיד נשאף להגיע ליחס הקטן ביותר.
נשאל את עצמנו מהו הגורם הגדול ביותר שניתן לחלק אותו את שני הגורמים ביחס ונגיע ליחס שווה אך מצומצם יותר.
כיצד נדע אם יחסים הם שווים?
נשאל את עצמנו – האם בעזרת צמצום או הרחבה באותו גורם נגיע ליחס זהה?
בואו ונראה כמה דוגמאות:
הצלחנו להוכיח שאם נכפיל ב-3 את שני הגורמים, נגיע ליחס למטה. לכן, היחסים שקולים!
האם היחסים הם יחסים שווים?
\(1:3\)
\(2:6\)
\(6:18\)
כן! היחס הראשון שווה ליחס השני- הכפלנו את שני הגורמים ב-2 .
היחס הראשון גם שווה ליחס השלישי- הכפלה ב-6.
היחס השני שווה ליחס השלילי – הכפלת שני הגורמים ב-3.
חלוקה ביחס נתון
כאשר ישנה חלוקה ביחס נתון, נקבל כמות מוגדרת שנתונה לנו ונצטרך לחלק אותה על פי היחס הנתון.
לדוגמה:
גיל ורוני מחלקים ביניהם סך הכל 112 גולות.
היחס בין הגולות של גיל לגולות של רוני הוא \(5:3\).
כמה גולות קיבל גיל וכמה גולות קיבל רוני.
בשאלה מסוג זה, נצטרך לחלק את הכמות המוגדרת – 112 לפי יחס החלוקה הנתון בין גיל לרוני.
איך נפתור?
בקלות.
נוכל לבחור באחת מן הדרכים הבאות:
הדרך הראשונה – בעזרת נעלם
נפשט את היחס הנתון באופן הבא:
על כל 5 גולות שגיל יקבל, רוני יקבל 3 גולות.
לכן נוכל להשתמש בנעלם \(X\) ולכתוב שבאופן כללי:
גיל יקבל \(5X \) גולות
רוני יקבל \(3X \) גולות
כעת, נוכל לקחת את הנתון בשאלה שסך כל הגולות הוא 112 ולכתוב משוואה אחת עם נעלם אחד:
\(5X+3X=112\)
נמצא את \(X\) ונקבל:
\(8X=112\)
\(x=14\)
שימו לב! עדיין לא הגענו לתשובה הסופית.
כעת נציב בנתונים שפישטנו ונקבל ש:
גיל יקבל \(5*14=70 \)
70 גולות
רוני יקבל \(3*14=42 \)
42 גולות
הדרך השנייה – בעזרת טבלה
נצייר טבלה קבועה שתסדר לנו את הנתונים ותעזור לנו בפתרון שאלות מהסוג הזה:
בואו ונראה תוך כדי דוגמה, איך אנו מסדרים את הנתונים בטבלה ומוציאים ממנה את התשובה.
שאלה:
שירן וחני תרמו ביחד לאגודה למען בעלי חיים- סך הכל 400 שח.
על כל 3 שקלים שתרמה שירן, חני תרמה 7 שקלים.
כמה כסף תרמה שירן וכמה כסף תרמה חני?
פתרון:
נצייר את הטבלה:
תחילה, נכתוב את הגורמים שיש לנו – שירן וחני.
כעת, נמלא את סך הכמות שיש לנו – 400 שקלים.
לאחר מכן, נוסיף את היחסים לפי הנתונים בשאלה-
שירן – 3, חני – 7.
שימו לב למלא זאת תחת עמודת היחס ולא הכמות מאחר ושירן וחני לא תרמו רק 10 שקלים. זה רק היחס.
נפלא.
כעת, נחשב את סך הכל היחס- \(3+7\) ונקבל סך הכל \(10\)
הגענו לשלב העיקרי:
להבין כמה היחס הכולל מתוך הכמות הכוללת.
כלומר:
כמה זה 10 מתוך 400
נחלק את 400 ב:10 ונקבל:
\(400:10=40 \)
כעת, שהבנו שהיחס הכולל הוא 40, נפעיל אותו על כל גורם הנפרד באופן הבא:
את היחס של כל גורם, נכפיל ביחס הכולל שמצאנו ונקבל את הכמות.
נפלא!! נוכל לקחת את התשובות מתוך הטבלה ולהבין ש:
שירן תרמה סך הכל 120 ₪ וחני תרמה סך הכל 280 ₪.
פרופורציה אולי נתפסת אצל חלקכם לנושא המסובך ביותר, אבל תאמינו לנו שהוא כולו מתבסס על יחס ועל עובדות שלמדתם בעבר.
פרופורציה היא מילה נרדפת ליחס שווה. אנו משתמשים בחיים בביטוים כמו – "קח הכל בפרופורציה" ומתכוונים בעצם ל- קח הכל ביחס הנכון... כלומר, ביחס השווה למה שקורה במציאות מבלי להגזים.
איך נבדוק אם מתקיימת פרופורציה בין יחסים?
בדיוק כמו בפרק יחסים שווים, על מנת לבדוק אם יש יחס שווה – פרופורציה בין יחסים,
נבצע צמצום ליחסים.
נצמצם אותם כמה שניתן (בעזרת המספר הגדול ביותר שניתן לחלק בו ללא שארית) ונראה אם נגיע לאותו היחס.
בואו ונראה דוגמה:
לפנינו היחסים הבאים. בדקו האם יש ביניהם פרופורציה.
\(2:3\) \(4:8 \) \(6:9 \)
פתרון:
על מנת לבדוק האם יש בין היחסים פרופורציה – שוויון יחסים, נצמצם כל יחס עד כמה שניתן.
נתחיל ב – \(2:3\)
יחס זה מצומצם כבר ואין אופציה לצמצם אותו מבלי לפגוע בשלמותו. לכן, נשאיר אותו כך.
נעבור ל- \(4:8\)
נשאל את עצמנו, האם נוכל לחלק את שני המספרים ביחס הזה באותו מספר ולהגיע ליחס מצומצם יותר?
התשובה היא כן. גם 8 וגם 4 מתחלקים ב-4 ללא שארית. לכן, נחלק את שני הגורמים ב-4 ונקבל:
כעת אנו יודעים ש \(4:8\) שקול ל-\(1:2\). לכן נקבע שאין פרופורציה בין \(2:3\) ל- \(4:8\), גם אחרי הצמצום הגענו ל\(1:2\), שאינו שווה ל- \(2:3\).
נמשיך אל היחס השלישי הנתון בשאלה: \(6:9 \)
נשאל את עצמנו, האם נוכל לחלק את שני המספרים ביחס זה באותו מספר ולהגיע ליחס מצומצם יותר?
התשובה היא כן. גם 9 וגם 6 מתחלקים ב-3 ללא שארית.
לכן, נחלק את שני הגורמים ב:3 ונקבל:
שימו לב! קיבלנו יחס זהה לחלוטין ליחס הראשון!
לכן, נוכל להגיד בוודאות שבין היחס \(2:3\) לבין היחס \(6:9 \) מתקיימת פרופורציה.
נעבור לדוגמה מילולית:
ידוע, שבכיתה ז'3, היחס בין הבנים לבנות הוא \(12:8\)
ובכיתה ז'2 , היחס בין הבנים לבנות הוא \(36:27\).
האם קיימת פרופורציה ביחס בין הבנים לבנות, בשתי הכיתות?
פתרון:
תחילה, נראה שהנתונים אכן מייצגים את אותו יחס, בנים לבנות ולא ההפך.
לאחר מכן, נצמצם את היחסים ככל הניתן ונבדוק אם הגענו לאותו יחס מצומצם.
נתחיל ביחס בכיתה ז'3:
\(12:8\).
נשאל את עצמנו, האם ניתן לחלק את שני הגורמים במספר כלשהו ללא שארית (נחפש את המספר הגדול ביותר כדי לצמצם את השבר ככל הניתן)?
התשובה היא כן, במספר 4.
נחלק ונקבל שהיחס שקול ל: \(2:3\)
כעת, נמשיך ליחס בכיתה ז'2:
\(36:27\).
נשאל את עצמנו, האם ניתן לחלק את שני הגורמים במספר כלשהו ללא שארית (נחפש את המספר הגדול ביותר כדי לצמצם את השבר ככל הניתן)?
התשובה היא כן, במספר 9.
נחלק ונקבל שהיחס שקול ל: \(4:3\).
שימו לב-
תמיד נחפש את המספר הגדול ביותר לצמצום כדי להגיע לשבר המצומצם ביותר.
האם היחסים המצומצמים שקיבלנו זהים?
התשובה היא לא – \(3:2\) אינו שווה ל- \(4:3\) ולכן בין היחס של הבנים לבנות בשתי הכיתות, אין פרופורציה.
מציאת המספר החסר בפרופורציה
לעיתים, יהיה נתון לנו רק יחס אחד שלם בין שני גורמים ועוד נתון שלישי שהוא חלק מיחס אחר.
בדרך כלל, יגידו לנו שישנה פרופורציה בין שני היחסים ועלינו למצוא את הנתון החסר ביחס.
איך נפתור בעיות עם מספר חסר בפרופורציה?
בואו ונראה דוגמה:
בגן החיות – "חופש לכולם", היחס בין הגמלים לטווסים הוא \(2:5\).
ידוע, שבגן החיות – "שמיים", ישנו יחס זהה בין גמלים לטווסים כמו בגן החיות "חופש לכולם".
עוד ידוע, שבגן החיות שמיים ישנם 20 טווסים.
כמה גמלים יש בגן החיות שמיים?
פתרון:
שימו לב- לעיתים, לא יתנו לנו באופן ברור את הנתון השלישי בשאלה ונצטרך לבטא גם אותו בעזרת \(X\).
מהו יחס ישר?
יחס ישר מציין לנו מצב בו כאשר גורם אחד גדל פי מספר מסוים, הגורם השני גדל גם הוא פי אותו מספר.
באותו אופן, כאשר גורם אחד קטן פי מספר מסוים, הגורם השני קטן גם הוא פי אותו מספר.
היחס בין שני הגדלים נשאר קבוע.
בואו ונראה דוגמה מחיי היומיום:
דמיינו את עצמכם נוסעים ברכב והכבישים פתוחים למדי – אין פקקים.
ככל שתיסעו יותר זמן, כך תעברו יותר ויותר קילומטרים.
נוכל להגיד, שככל הזמן עובר – עולה, כך גם המרחק עולה.
בואו ונראה ייצוג גרפי של יחס ישר:
הפונקציה: \(Y=aX \)
מתארת יחס ישר.
ככל ש-\(X\) עולה, כך גם \(Y\) עולה.
איך נבדוק האם מתקיים יחס ישר?
על מנת לבדוק האם מתקיים יחס ישר, נבדוק האם שני הגורמים גדלים או קטנים פי אותו מספר.
בואו ונראה דוגמה:
נתונה הטבלה הבאה:
| Y | X |
| 5 | 2 |
| 10 | 4 |
| 15 | 6 |
| 20 | 8 |
נבדוק, האם בכל פעם שגדל \(X\) במספר מסוים, גדל גם \(Y\) באותו המספר.
אם כן, מתקיים יחס ישר. אם לא – לא.
נשאל:
פי כמה גדל \(X\) מ-2 ל- 4?
התשובה היא פי 2.
ופי כמה גדל \(Y\) מ-5 ל-10?
התשובה היא פי 2.
נמשיך,
פי כמה גדל \(X\) מ:2 ל-6? התשובה היא פי 3.
ופי כמה גדל \(Y\) מ=5 ל-15?
התשובה היא פי 3.
נמשיך לבדוק ונגלה שבאמת בכל פעם ש-\(X\) גדל במספר מסוים, כך גם \(Y\) גדל פי אותו מספר.
נראה זאת באופן הבא:
בואו ונראה דוגמה מילולית:
חברת האשראי של דנה גובה דמי שימוש חודשיים בסף 2 שקלים ובנוסף סכום של 1 ₪ עבור כל פעולה שהיא מבצעת בחשבון.
האם היחס בין סכום הכסף שדנה צריכה לשלם לבין מספר העמלות שביצעה לחודש הוא יחס ישר?
פתרון:
על מנת לענות על שאלות מהסוג הזה, כדאי שנבנה טבלה:
\(X\)- ייצג לנו את מספר העמלות שדנה ביצעה
\(Y\) – ייצג לנו את סכום הכסף שדנה צריכה לשלם
שימו לב- נתון בשאלה שחברת האשראי לוקחת לדנה דמי שימוש חודשיים כלומר גם אם לא ביצעה עמלה- דנה עדיין צריכה לשלם 2 ₪.
נבנה טבלה:
כעת נבדוק:
האם בכל פעם ש-\(X\) גדל פי מספר מסוים, ה-\(Y\) גדל פי אותו מספר?
התשובה היא לא.
ניתן לראות שכאשר \(X\) גדל פי 2 – מ-1 ל-2
ה-\(Y\) אינו גדל פי 2! מ-3 ל-4 אלא ב-\(\frac{4}{3}\) .
לכן, נוכל לקבוע שהיחס בין סכום הכסף שדנה צריכה לשלם לבין מספר העמלות שביצעה לחודש הוא אינו יחס ישר.
יחס הפוך מציין לנו מצב בו כאשר גורם אחד גדל פי מספר מסוים, הגורם השני קטן פי אותו מספר ולהפך.
היחס בין שני הגדלים נשאר קבוע.
בואו ונראה דוגמה מחיי היומיום:
דמיינו שאתם נוסעים ברכב והכבישים פתוחים למדי – אין פקקים.
ככל שתיסעו יותר קילומטרים ותעברו מרחק רב יותר, כך כמות הדלק שלכם תלך ותקטן.
נוכל להגיד, שככל שהמרחק עולה – כמות הדלק יורדת.
בואו ונראה ייצוג גרפי של יחס הפוך:
הפונקציה:\( Y=\frac{a}{X} \)
מתארת יחס הפוך.
ככל ש-\(X\) עולה, \(Y\) קטן.
איך נבדוק האם מתקיים יחס הפוך?
על מנת לבדוק האם מתקיים יחס הפוך,
נבדוק האם כאשר גורם אחד גדל פי מספר מסוים הגורם השני קטן פי אותו מספר.
בואו ונראה דוגמה:
נתונה הטבלה הבאה:
| Y | X |
| 20 | 5 |
| 10 | 10 |
| 5 | 20 |
| 2.5 | 40 |
נבדוק, האם בכל פעם שגדל \(X\) פי מספר מסוים, \(Y\) קטן פי אותו המספר.
אם כן, מתקיים יחס הפוך. אם לא – לא.
נשאל:
פי כמה גדל \(X\) מ-5 ל- 10?
התשובה היא פי 2.
ופי כמה קטן \(Y\) מ-20 ל-10?
התשובה היא פי 2.
נמשיך,
פי כמה גדל \(X\) מ:5 ל-20? התשובה היא פי 4.
ופי כמה קטן \(Y\) מ-20 ל-5?
התשובה היא פי 4.
נמשיך לבדוק ונגלה שבאמת בכל פעם ש-\(X\) גדל במספר מסוים, כך גם \(Y\) קטן פי אותו מספר.
נראה זאת באופן הבא:
קנה מידה הוא ביטוי נרדף למילה יחס.
שאלות בקנה מידה, עוסקות ביחס בין גדלים בשרטוט לגדלים במציאות.
איך קוראים קנה מידה?
בצד השמאלי – נמצא הגודל בשרטוט
ובצד הימני – נמצא הגודל במציאות.
טיפ:
איך תזכרו שבשמאל תמיד נמצא קנה המידה של השרטוט?
שימו לב שהמילים שמאל ושרטוט מתחילות שתיהן באות ש'.
הערה- כאשר אנו כותבים קנה מידה, יש להשתמש באותן יחידות בדיוק גם בשרטוט וגם במציאות.
אם נתון לכם לדוגמה גודל בשרטוט בסנטימטרים ובמציאות במטרים, יש להמיר את היחידות כך שיהיו זהות ורק לאחר מכן לרשום את קנה המידה.
בואו ונראה דוגמה:
גובה בניין המגורים של נועה הוא 150 מטר.
דנה שירטטה אותו על נייר בגובה 50 סנטימטר.
מה קנה המידה?
פתרון:
תחילה, נמיר בין היחידות במציאות – מטרים, ליחידות בשרטוט בסנטימטרים.
1 מטר הוא 100 סנטימטרים ולכן 15 מטר הם 15,000 סנטימטרים.
כעת, נרשום את קנה המידה לפי הכלל – שמאל שרטוט ונקבל: