טכניקה אלגברית

באיזו שיטה היית רוצה ללמוד?
תרגול הסבר וידאו
🏆תרגולים מומלצים עבורך

טכניקה אלגברית

היא שם כולל למספר כישורים וכלים שיעזרו לנו בפתרון תרגילים מתקדמים בהמשך הדרך.

חזקה

חזקה היא דרך קצרה יותר לכתוב מכפלה של איבר עם עצמו מספר פעמים.

לדוגמא:

\(4^5=4*4*4*4*4\)
4 הוא המספר המוכפל בעצמו. הוא נקרא בסיס החזקה.
5 הוא מספר הפעמים שבו הוא המספר מוכפל ונקרא מעריך החזקה.

חוק הפילוג

חוק זה עוזר לנו לפתוח סוגריים, ומקל עלינו בחישובים מורכבים. נזכיר כיצד הוא עובד. באופן כללי נכתוב כך:

\(Z*(X+Y)=ZX+ZY\)
\(Z *(X - Y) = ZX - ZY\)


פירוק לגורמים – הוצאת גורם משותף מחוץ לסוגריים

הטכניקה של הוצאת גורם משותף גם היא חשובה לנו. היא תסייע לנו לעבור מביטוי שיש בו מספר גורמים, לביטוי בו יש גורם אחד.
לדוגמא:
\(2A + 4B\)

ביטוי זה מורכב משני גורמים. אנחנו יכולים לפרק אותו לגורמים, על ידי הוצאת הגורם המשותף הגדול ביותר. במקרה זה, הגורם הזה הוא 2.
נרשום זאת כך:

\(2A + 4B = 2*(A + 2B)\)

חוק הפילוג המורחב

חוק הפילוג המורחב דומה לחוק הפילוג, רק שהוא מאפשר לנו לפתור תרגילים בהם יש ביטוי בסוגריים כפול ביטוי בסוגריים.
באופן כללי זה נראה כך:

\((a+b)*(c+d) = ac + ad + bc+ bd\)

במאמר זה נפרט כל אחד מהנושאים הנ״ל.
 


תרגילים בסיסיים בטכניקה אלגברית (1)

צפו במספר דוגמאות לתרגילים בנושא טכניקה אלגברית


תרגולים מתקדמים (0)

אחרי הדוגמאות הבסיסיות, הגיע הזמן לתרגילים קצת יותר מאתגרים 😊


הכיתה התקדמה בטכניקה אלגברית ואתם עדיין מאחור?

צוות לימוד נעים כאן עבורכם :)
בואו ללמוד טכניקה אלגברית עם מאות סרטונים, שאלות ודוגמאות.


במאמר זה נעבור על נושאים חשובים בנושא הטכניקה האלגברית. כל נושא כזה יילמד בפירוט רב יותר במאמרים נוספים.

מפגש חוזר – חזקות

נזכיר את הפרטים החשובים בתחום החזקות:

חזקה היא למעשה דרך קצרה יותר לכתוב מכפלה של איבר עם עצמו מספר פעמים. זה נראה כך:
\(4^5\)

4 הוא המספר המוכפל בעצמו. הוא נקרא בסיס החזקה.
5 הוא מספר הפעמים שבו הוא המספר מוכפל ונקרא מעריך החזקה.

כלומר בדוגמא שלנו:
\(4^5=4*4*4*4*4\)

נזכיר כי כל מספר בחזקת 1 שווה למספר עצמו
כלומר:

\(4^1=4\)

וכן כל מספר בחזקת 0 שווה ל-1
\(4^0=1\)

זו הגדרה מתמטית לחזקה ב-0.

נקודה חשובה נוספת היא ההבדל בין חזקה בתוך סוגריים לחזקה מחוץ לסוגריים. לדוגמא, מה ההבדל בין?

\((-4)^2\) ל- \( -4^2\)
זוהי נקודה חשובה שעלולה לגרום לבלבול. כאשר החזקה מחוץ לסוגריים כמו במקרה הראשון, אז מעלים את כל הביטוי בחזקה, כלומר

\((-4)^2= (-4)*(-4)=16\)

במקרה השני לעומת זאת, קודם נתייחס לחזקה ולאחר מכן לסימן המינוס. כלומר:

\(-4^2= -(4*4)= -16\)

כמו כן נזכיר כי חזקה קודמת לארבע פעולות החשבון, אך לא קודמת לסוגריים.

לדוגמא:
\(3*(4-2)^2= 3*(2)^2=3*4=12\)

מפגש חוזר – חוק הפילוג

את חוק הפילוג הכרנו בכיתה ז׳. חוק זה עוזר לנו לפתוח סוגריים, ומקל עלינו בחישובים מורכבים. נזכיר כיצד הוא עובד. באופן כללי נכתוב כך:

\(Z*(X+Y)=ZX+ZY\)
\(Z *(X - Y) = ZX - ZY\)

ניתן כמה דוגמאות מספריות בכדי להבין את הנוסחה.

דוגמה 1  - חוק הפילוג

\(6⋅ 26=6⋅ (20+6)=6*20 + 6*6 = 120+36=156\)
השתמשנו בחוק הפילוג בכדי לחשב תרגיל שהיה מורכב יותר לחשב באופן ישיר.
נוכל להשתמש בחוק הפילוג גם במקרה של פעולת חילוק. 

דוגמה 2 – חוק הפילוג

\(104:4=(100+4):4= 100:4 + 4:4 = 25+1 = 26\)

גם במקרה זה, חוק הפילוג עזר לנו לפשט תרגיל בו החישוב הישיר מעט מורכב יותר.

דוגמא 3 – חוק הפילוג כאשר יש משתנים

פתחו את הסוגריים הבאים באמצעות חוק הפילוג.
\(3a * (2b + 5) =\)
נקפיד להכפיל את האיבר שמחוץ לסוגריים בכל אחד מהאיברים בתוך הסוגריים על פי הסדר
\(3a * (2b + 5) =  6ab + 15a\)

פירוק לגורמים – הוצאת גורם משותף מחוץ לסוגריים

הטכניקה של הוצאת גורם משותף גם היא חשובה לנו. היא תסייע לעבור מביטוי שיש בו מספר גורמים, לביטוי בו יש גורם אחד.
לדוגמא נביט בביטוי:

\(2A + 4B\)

ביטוי זה מורכב כעת משני גורמים. אנחנו יכולים לפרק אותו לגורמים, על ידי הוצאת הגורם המשותף הגדול ביותר. במקרה זה, הגורם הזה הוא 2.
נרשום זאת כך:

\(2A + 4B = 2*(A + 2B)\)

נשים לב כי ממצב שבו היו לנו שני מחוברים, הגענו למצב של מכפלה אחת. תהליך זה נקרא פירוק לגורמים.
נוכל להשתמש בחוק הפילוג שהזכרנו קודם, כדי לבצע את התהליך בכיוון ההפוך. נכפול את 2 בכל אחד מן הגורמים בתוך הסוגריים:

\( 2*(A+2B) = 2A + 4B\)

לעתים נרצה ביטוי שהוא מכפלה, ולעתים ביטוי המורכב ממספר מחוברים.
במאמר המורחב בנושא זה תוכלו לראות דוגמאות נוספות.

חוק הפילוג המורחב

חוק הפילוג המורחב דומה לחוק הפילוג, רק שהוא מאפשר לנו לפתור תרגילים בהם יש ביטוי בסוגריים כפול ביטוי בסוגריים.
באופן כללי זה נראה כך:

\((a+b)*(c+d) = ac + ad + bc+ bd\)

כיצד עובד חוק הפילוג המורחב? 


דוגמא:

\((a + 2) * (3 + a) = \)

שלב ראשון: נכפול את a בכל אחד מהגורמים בסוגריים השניים. 

\((a + 2) * (3 + a) = 3a + a2 \)

שלב שני: נכפול את 2 בכל אחד מהגורמים בסוגריים השניים. 

\((a + 2) * (3 + a) = 3a + a2 + 6 + 2a\)

שלב שלוש: נסדר ונכנס איברים דומים במידה ויש כאלו:

\((a + 2) * (3 + a) = 3a + a2 + 6 + 2a = a2 + 5a + 6\)


במאמר המלא על חוק הפילוג המורחב תוכלו למצוא הסברים מפורטים ודוגמאות רבות נוספות.