חציון

חציון

במאמר הזה נלמד מהו חציון, איך למצוא אותו מתוך קבוצת מספרים שכמותם זוגית ואי זוגית ומה ההבדל בינו לבין ממוצע.

מהו חציון?

חציון הוא איזשהו מדד בסטטיקה שבא ללמד אותנו עובדה מסוימת על הקבוצה כולה.
לא סתם קוראים לו חציון מהמילה חצי – הוא מסמל את האיבר שנמצא בדיוק באמצע. חצי מהמספרים מעליו וחצי מהמספרים מתחתיו.
לדוגמה: מהו החציון בקבוצת המספרים הבאה?
\(2,3,4,5,6\)

פתרון: החציון הוא \(4\). שני מספרים מתחתיו – \(2\) ו-\(3\) ושני מספרים מעליו – \(5\) ו-\(6\).
החציון מספר לנו ש-\(4\) הוא האמצע של קבוצת המספרים.

איך מוצאים חציון מתוך קבוצת מספרים שכמותם אי זוגית?

למצוא חציון מתוך כמות מספרים אי זוגית, זה דיי קל.
אנו בעצם צריכים למצוא מספר שיש כמות שווה של איברים שקטנים ממנו וגדולים ממנו.
נוכל לפעול לפי הנוסחה (כאשר יש כמות אי זוגית של מספרים) ולקבל את מיקום האיבר החציוני. 
שימו לב – הנוסחה לא נותנת לנו את האיבר החציוני אלא רק את המיקום שלו.
\(\frac{N+1}{2} = החציון~של~מיקומו\)
\(N\) -   כמות האיברית בקבוצה
אם יש מעט מספרים בקבוצה, לא נצטרך נוסחה ונפעל כך:

בשלב הראשון – נסדר את האיברים לפי הסדר.
בשלב השני – נזהה את המספר שיושב באמצע ויוצר שתי קבוצות עם אותה כמות מספרים.

לדוגמה:
מהו החציון בקבוצת המספרים:
\(23,10,11,24,13\)?

פתרון:
בשלב הראשון – 
נסדר את המספרים לפי הסדר. נקבל:
\(10,11,13,23,24\)
בשלב השני – נמצא את המספר שיושב באמצע. נקבל:
החציון הוא \(13\). הוא יושב באמצע – מתחתיו \(2\) מספרים ומעליו \(2\) מספרים.

מה אם היינו אומרים לכם למצוא את החציון מתוך קבוצה ממש גדולה של מספרים, לדוגמה \(135\) מספרים?
אז היינו צריכים להשתמש בנוסחה שהייתה מביאה לנו את מיקומו של האיבר החציוני.
לדוגמה:
מה מיקומו של החציון בקבוצה בה יש \(135\) מספרים?

פתרון:
נציב בנוסחה:
\(\frac{135+1}{2}=68\)
מיקומו של החציון הוא \(68\).

איך מוצאים חציון מתוך קבוצת מספרים שכמותם זוגית?

כאשר יש לנו קבוצת איברים שכמותם זוגית, לא נוכל לזהות את האיבר האמצעי רק ממבט מאחר ואין מספר שיש מעליו ומתחתיו את אותה כמות מספרים.
אז מה עושים?
חציון בקבוצת מספרים שכמותם זוגית, הוא הממוצע של 2 האיברים הנמצאים במקומות האמצעיים.
כלומר, אם יש \(N\) מספרים בקבוצה ו- \(N\) הוא מספר זוגי, החציון יהיה הממוצע של שני האיברים הנמצאים במקומות:
 \(\frac{N}{2}\)   ו- \(\frac{N+2}{2}\)

בואו נתרגל:
מהו החציון בקבוצת המספרים –
\(4,7,8,9,10,13\)?

פתרון:
שימו לב – אם המספרים לא מסודרים לפי הסדר, תחילה נסדר אותם.
נמצא את \(N\) מספר האיברים בקבוצה – \(6\)
החציון יהיה הממוצע של המספר שנמצא במקום \({6\over2} = 3\) השלישי ושל האיבר שנמצא במקום \(\frac{6+2}{2}=4\) הרביעי.
כלומר החציון הוא ממוצע של האברים \(8\) ו-\(9\). נקבל:
\(\frac{8+9}{2}=8.5\)  
החציון הוא \(8.5\).

עוד תרגיל:
מה יהיה החציון בקבוצה של \(400\) מספרים?

פתרון:
החציון יהיה ממוצע של שני המספרים הנמצאים במקומות:
\({400 \over 2} = 200\)
ו-
\(\frac{400+2}{2}=201\)
שימו לב – אנחנו ממש לא מחשבים ממוצע של \(200\) ו-\(201\). אלו רק המקומות של האיברים שלה נחשב ממוצע ונקבל את החציון.

מה ההבדל בין חציון לממוצע?

חציון לא מושפע ממספרים קיצוניים לעומת ממוצע שמושפע מכל המספרים בקבוצה.
האם זה חיסרון או יתרון? אין לדעת. תלוי בקבוצת המספרים הנתונה. לכן לא נוכל לקבוע שבאופן כללי מדד אחד טוב יותר מהאחר.