חפיפת משולשים

משולשים חופפים הם משולשים זהים.
כלומר, משולשים שגם זוויותיהם וגם צלעותיהם מתאימות באופן מדויק, וכך גם השטח וההיקף שלהם שווה.

אסור להתבלבל עם מקרה של דימיון משולשים, בהם הזוויות שוות אך אורכי הצלעות שונים ביחס שווה ובהתאמה.

כדי להוכיח שמשולשים חופפים, ניתן להשתמש באחד המשפטים הבאים - 

צ.ז.צ - צלע, זווית, צלע

ז.צ.ז - זווית, צלע, זווית

צ.צ.צ - צלע, צלע, צלע

צ.צ.ז - צלע, צלע, זווית


תרגילים בסיסיים בחפיפת משולשים (1)

צפו במספר דוגמאות לתרגילים בנושא חפיפת משולשים


תרגולים מתקדמים (0)

אחרי הדוגמאות הבסיסיות, הגיע הזמן לתרגילים קצת יותר מאתגרים 😊


הכיתה התקדמה בחפיפת משולשים ואתם עדיין מאחור?

צוות לימוד נעים כאן עבורכם :)
בואו ללמוד חפיפת משולשים עם מאות סרטונים, שאלות ודוגמאות.


משולשים חופפים

ראשית, נתחיל מדוגמה למשולשים חופפים:

נתונים 2 משולשים

Δ ABC

Δ DEF

נתון כי הצלעות

והזוויות

РA=РD

РB=РE

РC=РF

אז ניתן להסיק כי 

Δ ABC \(≅ \) Δ DEF ע"פ סדר קודקודים

שימו לב: הסימן \(≅ \) מסמל חפיפה והוא מורכב משני סימנים.

 

מונחים בסיסיים במשולשים חופפים

משולשים חופפים

כתיבת חפיפה בהתאמה של סדר הקודקודים - סדר האותיות הנכתבות משמאל לימין בכל משולש הם עפ' הזוויות השוות ביניהם כך שהאות הראשונה במשולש הראשון תציין את הזווית השווה לאות הראשונה במשולש השני. האות השנייה במשולש הראשון תציין את הזווית השווה לאות השנייה במשולש השני ו וכן האות השלישית בכל משולש תתאר את שוויון הזוויות הנותרות ב2 המשולשים.

חשוב לזכור כי משוויון והתאמה בין הקודקודים נובע השוויון בין הצלעות, כי מול הזויות השוות מונחות הצלעות השוות.

לדוגמה:

נתון לנו ש Δ ABC \(≅ \) Δ DEF והחפיפה נרשמה ע"פ סדר קדקודים

משולשים חופפים

לכן ניתן להסיק כי:

הזוויות

РA=РD

РB=РE

РC=РF

והצלעות

AB=DE

AC=DF

=BCEF

עכשיו, כדי לעשות סדר ולוודא שאנחנו מבין את העניין, בואו נראה דוגמה לשאלה בנושא משולשים חופפים ונראה שאנחנו יודעים לפתור אותה, לפני שנמשיך

נתונים המשולשים Δ ABC וΔ DEF והם חופפים על פי סדר הקודקודים, זאת אומרת ש Δ ABC \(≅ \) Δ DEF

נתון לנו גם כי הזוויות

РE=60o

РA=51o

ונתון לנו כי הצלעות

AB=5

AC=4

EF=3.9

משולשים חופפים - דוגמה

מצאו את זוויות РD, РB, РC ו-РF
ולאחר מכן מצאו את אורכי הקטעים BC, DE ו-DF

אז ראשית, כיוון שהמשולשים חופפים, אנו יודעים כי

РE=РB=60o

РA=РD=51o

ולכן התשובה בנוגע לזוויות הנותרות היא Ð F=РC=69כיוון שסכום הזוויות הכולל במשולש הוא 180o

את אותו הדבר ניישם גם על הצלעות. כיוון שמדובר במשולשים חופפים אז

AC=DE=5

AC=DF=4

EF=BC=3.9


חפיפת משולשים שווי צלעות

משולשים שכל צלעותיהם שוות, ממילא גם כל זוויותיהם שוות, כיוון שמול צלעות שוות במשולש, מונחות זוויות שוות ולכן גודל כל זווית במשולש שווה צלעות היא בת 60o כי כאמור במשולש יש שלוש זוויות שסכומן הוא 180o. לכן 2 משולשים שווי צלעות השווים באחת מצלעותיהם חופפים.

לדוגמה:
אם נתון כי במשולש ABC

 AB=AC=BC

ובמשולש EFD

DF=DE=EF

וכן נתון כי AB=EF

חפיפת משולשים שווי צלעות

ניתן להסיק כי כל הצלעות שוות ובכל משולש כל זווית היא בת 60o

לכן במשולשים שווי צלעות בכל סדר בה ירשמו הקדקודים תהייה התאמה בינהם.

לדוגמה:

Δ ABC \(≅ \)Δ EFD 

Δ ABC \(≅ \)Δ FDE

Δ ABC \(≅ \)Δ DEF

חפיפה במשולש שווה שוקיים

במשולש שווה שוקיים יש שוויון בין 2 הצלעות הנקראות שוקיים וגם שוויון בין הזויות מולם כי מול צלעות שוות זוויות שוות

לדוגמה נתון כי:

חפיפה במשולש שווה שוקיים

מנתונים אלה, נוכל להסיק כי זווית Ð A=30

ולכן זוויות РC=РB=РF=РE=75o

כמו כן, נוכל להסיק כי צלע FE=4

מהו מס' הנתונים המינימלי שצריך במשולש כדי להוכיח חפיפת משולשים?

בעקרון, מספיקים חמישה נתונים כדי להוכיח חפיפת משולשים:

אבל לעיתים ניתן לדעת שמשולשים חופפים בעזרת שלושה נתונים בלבד - כדי לעשות את זה, צריך להכיר את משפטי החפיפה המתארים אוסף של אפשרויות המקיימות חפיפה של משולשים עם 3 נתונים בלבד.


משפטי חפיפה

משפט חפיפה ראשון - צלע, זווית ,צלע (צ.ז.צ)

הגדרה: 2 משולשים השווים בהתאמה ב2 צלעות ובזווית הכלואה בינהם, חופפים.

נתון:

משפט חפיפה ראשון - צלע, זווית ,צלע (צ.ז.צ)

לכן:

Δ DEF \(≅ \)Δ ABC על פי משפט חפיפה: צלע, זוית, צלע. (מ.ח.צ.ז.צ)

מזה ניתן להסיק כי:

BC=FE הן צלעות מתאימות ושוות במשולשים חופפים וכך גם צלעות AC=DF (מאותה הסיבה בדיוק)

כמו כן ניתן להסיק כי זוויותРC=РF הן זוויות מתאימות ושוות במשולשים חופפים.

דוגמה:

הוכיחו כי כאשר 2 קטעים חוצים זה את זה, נוצרים 2 משולשים חופפים וצלעות AC=BD

כדי לעשות זאת, נסדר את הנתונים בצורה מאורגנת לפי:

ובעזרתם תתקבל הוכחה שהיא תהליך ההנמקה וההסבר למטרה המבוקשת, להלן:

נתון:

DE=CE=4

AE=BE=5

משפטי חפיפה - טרפז

הוכיחו כי Δ BED \(≅ \)Δ AEC וכן כי AC=BD

טענה נימוק
  • BE=AE=5 (צלע)
  • РDEB=РAEB (זווית)
  • DE=CE=4 (צלע)

לכן 

  • Δ BED \(≅ \)Δ AEC
  • AC=BD
  • נתון
  • זוויות קודקודיות שוות
  • נתון

לכן ע"פ משפט חפיפה צלע, זוית, צלע

מ.ש.ל
צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

 

משפט חפיפה שני - זווית ,צלע, זווית  (ז.צ.ז)

הגדרה2 משולשים השווים ב2 זוויות ובצלע הכלואה ביניהם חופפים

נתון:

משפט חפיפה שני - זווית ,צלע, זווית  (ז.צ.ז)

לכן:

Δ DEF \(≅ \)Δ ABC על פי משפט חפיפה: זווית, צלע, זווית (מ.ח.צ.ז.צ)

מזה ניתן להסיק כי:

BC=FE הן צלעות מתאימות ושוות במשולשים חופפים וכך גם צלעות AC=DF (מאותה הסיבה בדיוק)

כמו כן ניתן להסיק כי זוויותРC=РF הן זוויות מתאימות ושוות במשולשים חופפים.

דוגמה:

 בשרטוט שלפניך נתון:

משפט חפיפה שני - זווית ,צלע, זווית  (ז.צ.ז) - דוגמה

הוכיחו כי AO=CO וגם BO=DO

טענה נימוק
  • DC || AB

לכן

  • РC=РA (ז)
  • РD=РE (ז)
  • DC=AB (צ)

לכן

  • Δ CDO \(≅ \)Δ ABO
  • CO=AO וגם DO=BO
  • נתון

לכן

  • זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים
  • זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים
  • נתון

לכן ע"פ משפט חפיפה זווית, צלע, זוית

מ.ש.ל
צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

 

משפט חפיפה שלישי - צלע, צלע, צלע (צ.צ.צ)

הגדרה: 2 משולשים השווים בכל שלושת צלעותיהם חופפים.

נתון:

לכן:

Δ DEF \(≅ \)Δ ABC על פי משפט חפיפה: צלע, צלע, צלע (מ.ח.צ.צ.צ)

דוגמה:

במרובע ABCD נתון:

הוכיחו כי זוויות РD=РB

טענה נימוק
  • AB=AD (צ)
  • BD=CD (צ)
  • AC=AC (צ)

לכן

  • Δ ADC \(≅ \)Δ ABC
  • РD=РB
  • נתון
  • נתון
  • צלע משותפת

לכן ע"פ משפט חפיפה צלע, צלע, צלע

מ.ש.ל
זויות מתאימות במשולשים חופפים שוות

 

משפט חפיפה רביעי - צלע, צלע, זווית

הגדרה: 2 משולשים השווים ב2 צלעותיהם בהתאמה ובזווית מול הצלע הגדולה מבניהם, חופפים

מתוך זה נובע המשפט במשולשים ישרי זווית: 2 משולשים ישרי זווית השווים בניצב ויתר חופפים

נתון:

לכן:

Δ DEF \(≅ \)Δ ABC על פי משפט חפיפה: צלע, צלע, זווית (מ.ח.צ.צ.ז)

דוגמה:

במשולש ABC שניים מגבהיו הם שווים.

הוכיחו כי AB=BC

טענה נימוק
  • AC=AC (צ)
  • AE=CD (צ)
  • РAEC=РCDA=90o

לכן

  • Δ CAE \(≅ \)Δ ACD
  • РC=РA
  • AB=BC
  • צלע משותפת
  • נתון
  • נתון - הזווית הגדולה במשולש

לכן
ע"פ משפט חפיפה צלע, צלע, זווית

מ.ש.ל
משולש שזוויות הבסיס שלו שוות הוא משולש שווה שוקיים