חפיפת משולשים

 משולשים חופפים

ראשית, נתחיל מדוגמה למשולשים חופפים:

נתונים 2 משולשים

Δ ABC

Δ DEF

נתון כי הצלעות

• AB=DE
• AC=DF
• BC =EF

והזוויות

РA=РD

РB=РE

РC=РF

אז ניתן להסיק כי 

Δ ABC \(≅ \) Δ DEF ע"פ סדר קודקודים

שימו לב: הסימן \(≅ \) מסמל חפיפה והוא מורכב משני סימנים.

• סימן השווה = כי כל הצלעות שוות בהתאמה
• ומעליו גל שוכב \(\sim \) שהוא סימון לדומה במתמטיקה כמו במשולשים דומים בהם כל הזוויות שוות

 

מונחים בסיסיים במשולשים חופפים

• משולש - קו שבור סגור המורכב מ3 שבירות
• קודקוד במשולש - זוהי נקודת שבירה בקו השבור סגור ומסמנים אותו באותיות A,B,C גדולות
• צלע במשולש - קטע המחבר 2 קדקודים במשולש והוא מסומן באמצעות 2 אותיות הקדקודים הנמצאות בקצותיו כמו AB,CB וכו'
• צ"ל - צריך להראות
• מ.ש.ל - מה שרצינו להראות
• משולשים דומים - הם משולשים השווים בכל זוויותיהם בהתאמה וצלעותיהם פורפורציוניות(הם מוגדלים או מוקטנים באותו יחס) נקראים משולשים דומים.
• סימון הדמיון - ~
• סימון ישרים מקבילים - ||
• סכום הזוויות בכל משולש 180^o

משולשים חופפים

כתיבת חפיפה בהתאמה של סדר הקודקודים - סדר האותיות הנכתבות משמאל לימין בכל משולש הם עפ' הזוויות השוות ביניהם כך שהאות הראשונה במשולש הראשון תציין את הזווית השווה לאות הראשונה במשולש השני. האות השנייה במשולש הראשון תציין את הזווית השווה לאות השנייה במשולש השני ו וכן האות השלישית בכל משולש תתאר את שוויון הזוויות הנותרות ב2 המשולשים.

חשוב לזכור כי משוויון והתאמה בין הקודקודים נובע השוויון בין הצלעות, כי מול הזויות השוות מונחות הצלעות השוות.

לדוגמה:

נתון לנו ש Δ ABC \(≅ \) Δ DEF והחפיפה נרשמה ע"פ סדר קדקודים



לכן ניתן להסיק כי:

הזוויות

РA=РD

РB=РE

РC=РF

והצלעות

AB=DE

AC=DF

=BCEF

עכשיו, כדי לעשות סדר ולוודא שאנחנו מבין את העניין, בואו נראה דוגמה לשאלה בנושא משולשים חופפים ונראה שאנחנו יודעים לפתור אותה, לפני שנמשיך

נתונים המשולשים Δ ABC וΔ DEF והם חופפים על פי סדר הקודקודים, זאת אומרת ש  Δ ABC \(≅ \) Δ DEF

נתון לנו גם כי הזוויות

РE=60^o

РA=51^o

ונתון לנו כי הצלעות

AB=5

AC=4

EF=3.9

מצאו את זוויות РD, РB, РC ו-РF
ולאחר מכן מצאו את אורכי הקטעים BC, DE ו-DF

אז ראשית, כיוון שהמשולשים חופפים, אנו יודעים כי

РE=РB=60^o

РA=РD=51^o

ולכן התשובה בנוגע לזוויות הנותרות היא Ð F=РC=69^o כיוון שסכום הזוויות הכולל במשולש הוא 180^o

את אותו הדבר ניישם גם על הצלעות. כיוון שמדובר במשולשים חופפים אז

AC=DE=5

AC=DF=4

EF=BC=3.9

---

חפיפת משולשים שווי צלעות

משולשים שכל צלעותיהם שוות, ממילא גם כל זוויותיהם שוות, כיוון שמול צלעות שוות במשולש, מונחות זוויות שוות ולכן גודל כל זווית במשולש שווה צלעות היא בת 60^o כי כאמור במשולש יש שלוש זוויות שסכומן הוא 180^o. לכן 2 משולשים שווי צלעות השווים באחת מצלעותיהם חופפים.

לדוגמה:
אם נתון כי במשולש ABC

 AB=AC=BC

ובמשולש EFD

DF=DE=EF

וכן נתון כי AB=EF

ניתן להסיק כי כל הצלעות שוות ובכל משולש כל זווית היא בת 60^o

לכן במשולשים שווי צלעות בכל סדר בה ירשמו הקדקודים תהייה התאמה בינהם.

לדוגמה:

Δ ABC \(≅ \)Δ EFD 

Δ ABC \(≅ \)Δ FDE

Δ ABC \(≅ \)Δ DEF

חפיפה במשולש שווה שוקיים

במשולש שווה שוקיים יש שוויון בין 2 הצלעות הנקראות שוקיים וגם שוויון בין הזויות מולם כי מול צלעות שוות זוויות שוות

לדוגמה נתון כי:

• Δ ABC\(≅ \)Δ DEF
• AB=AC
• DE=DF
• РD=30^o

מנתונים אלה, נוכל להסיק כי זווית Ð A=30^o 

ולכן זוויות РC=РB=РF=РE=75^o

כמו כן, נוכל להסיק כי צלע FE=4

מהו מס' הנתונים המינימלי שצריך במשולש כדי להוכיח חפיפת משולשים?

בעקרון, מספיקים חמישה נתונים כדי להוכיח חפיפת משולשים:

• 3 צלעות שוות
• 2 זוויות שוות (כי הזווית הנוספת תמיד תשלים את החסר כי כאמור במשולש סכום הזוויות הכולל הוא תמיד 180^o)

אבל לעיתים ניתן לדעת שמשולשים חופפים בעזרת שלושה נתונים בלבד - כדי לעשות את זה, צריך להכיר את משפטי החפיפה המתארים אוסף של אפשרויות המקיימות חפיפה של משולשים עם 3 נתונים בלבד.

---

משפטי חפיפה

משפט חפיפה ראשון - צלע, זווית ,צלע (צ.ז.צ)

הגדרה: 2 משולשים השווים בהתאמה ב2 צלעות ובזווית הכלואה בינהם, חופפים.

נתון:

• AB=DE (צ)
• РB=РE (ז)
• CB=FE (צ)   

לכן:

Δ DEF \(≅ \)Δ ABC על פי משפט חפיפה: צלע, זוית, צלע. (מ.ח.צ.ז.צ)

מזה ניתן להסיק כי:

BC=FE הן צלעות מתאימות ושוות במשולשים חופפים וכך גם צלעות AC=DF (מאותה הסיבה בדיוק)

כמו כן ניתן להסיק כי זוויותРC=РF הן זוויות מתאימות ושוות במשולשים חופפים.

דוגמה:

הוכיחו כי כאשר 2 קטעים חוצים זה את זה, נוצרים 2 משולשים חופפים וצלעות AC=BD

כדי לעשות זאת, נסדר את הנתונים בצורה מאורגנת לפי:

• הנתונים הקיימים לי
• סימון נקודת היעד שלי (זה מה שצריך להוכיח)

ובעזרתם תתקבל הוכחה שהיא תהליך ההנמקה וההסבר למטרה המבוקשת, להלן:

נתון:

DE=CE=4

AE=BE=5

הוכיחו כי Δ BED \(≅ \)Δ AEC וכן כי AC=BD

טענה	נימוק
BE=AE=5 (צלע) РDEB=РAEB (זווית) DE=CE=4 (צלע) לכן  Δ BED \(≅ \)Δ AEC AC=BD	נתון זוויות קודקודיות שוות נתון לכן ע"פ משפט חפיפה צלע, זוית, צלע מ.ש.ל צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

משפט חפיפה שני - זווית ,צלע, זווית  (ז.צ.ז)

הגדרה:  2 משולשים השווים ב2 זוויות ובצלע הכלואה ביניהם חופפים

נתון:

• РD=РA (זווית)
• DE=AB (צלע)
• РE=РB (זווית)

לכן:

Δ DEF \(≅ \)Δ ABC על פי משפט חפיפה: זווית, צלע, זווית (מ.ח.צ.ז.צ)

מזה ניתן להסיק כי:

BC=FE הן צלעות מתאימות ושוות במשולשים חופפים וכך גם צלעות AC=DF (מאותה הסיבה בדיוק)

כמו כן ניתן להסיק כי זוויותРC=РF הן זוויות מתאימות ושוות במשולשים חופפים.

דוגמה:

 בשרטוט שלפניך נתון:

• AB ǁ DC (ישרים מקבילים)
• AB = DC

הוכיחו כי AO=CO וגם BO=DO

טענה	נימוק
DC || AB לכן РC=РA (ז) РD=РE (ז) DC=AB (צ) לכן Δ CDO \(≅ \)Δ ABO CO=AO וגם DO=BO	נתון לכן זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים נתון לכן ע"פ משפט חפיפה זווית, צלע, זוית מ.ש.ל צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

משפט חפיפה שלישי - צלע, צלע, צלע (צ.צ.צ)

הגדרה: 2 משולשים השווים בכל שלושת צלעותיהם חופפים.

נתון:

• DE=AB (צלע)
• DF =AC (צלע)
• EF=BC (צלע)

לכן:

Δ DEF \(≅ \)Δ ABC על פי משפט חפיפה: צלע, צלע, צלע (מ.ח.צ.צ.צ)

דוגמה:

במרובע ABCD נתון:

• AB=AD
• CB=CD

הוכיחו כי זוויות РD=РB

טענה	נימוק
AB=AD (צ) BD=CD (צ) AC=AC (צ) לכן Δ ADC \(≅ \)Δ ABC РD=РB	נתון נתון צלע משותפת לכן ע"פ משפט חפיפה צלע, צלע, צלע מ.ש.ל זויות מתאימות במשולשים חופפים שוות

משפט חפיפה רביעי - צלע, צלע, זווית

הגדרה: 2 משולשים השווים ב2 צלעותיהם בהתאמה ובזווית מול הצלע הגדולה מבניהם, חופפים

מתוך זה נובע המשפט במשולשים ישרי זווית: 2 משולשים ישרי זווית השווים בניצב ויתר חופפים

נתון:

• BA=ED (צלע)
• BC=EF (צלע)
• РBAC =РEDF (זווית) 
• מתקיים היחס - BC>AB (צלע)

לכן:

Δ DEF \(≅ \)Δ ABC על פי משפט חפיפה: צלע, צלע, זווית (מ.ח.צ.צ.ז)

דוגמה:

במשולש ABC שניים מגבהיו הם שווים.

• AE=CD (צלע)
• РAEC=РCDA=90^o

הוכיחו כי AB=BC

טענה	נימוק
AC=AC (צ) AE=CD (צ) РAEC=РCDA=90o לכן Δ CAE \(≅ \)Δ ACD РC=РA AB=BC	צלע משותפת נתון נתון - הזווית הגדולה במשולש לכן ע"פ משפט חפיפה צלע, צלע, זווית מ.ש.ל משולש שזוויות הבסיס שלו שוות הוא משולש שווה שוקיים