חישוב שטחים באמצעות אינטגרלים

במאמר זה נציג דרך סכמטית לחישוב שטחים באמצעות אינטגרלים.

רקע לחישוב שטחים באמצעות אינטגרלים

פעולת האינטגרל הינה פעולה אשר עוזרת לנו למצוא את הפונקציה הקדומה לנגזרת. אנו מחלקים נושא זה ל2:

  • האינטגרל המסויים והאינטגרל הלא מסויים.
  • באינטגרל המסויים, יש להציב את גבולות האינטגרל ולקבל תוצאה מספרית. 

טכניקה זו, עוזרת לנו לחשב שטחים לא טריוויאלים שנוצרים ע"י פונקציות. לדוגמא, אין כל בעיה לחשב שטח משולש, או שטח מלבן או כל צורה אחרת המוכרת לנו נוסחת חישוב השטח שלה. אך מה קורה במצב בו השטח הוא איננו צורה מוכרת וברורה?
 

סדר פעולות סכמטי לחישוב שטחים באמצעות אינטגרלים

  1. זיהוי השטח הנדרש לחישוב
  2. מציאת גבולות השטח הנדרש. כאשר אנו אומרים "גבולות" אנו מתייחסים בד"כ לערכים בציר ה-X. (יש מקרים כמובן שניתן לסכום גם ע"פ ציר ה-Y אך לא נכנס לזה)
  3. זיהוי מי הפונקציה העליונה ומי הפונקציה התחתונה אשר תוחמות לנו את השטח הדרוש. הערה: ציר הX הינו הפונקציה Y=0.
  4. במידה ובסעיף 3 אנו מוצאים יותר מפונקציה עליונה אחת או יותר מפונקציה תחתונה אחת, יש לחלק את כל השטח הנדרש למספר שטחים (בד"כ זה יהיה חלוקה ל2 שטחים) ולזהות את הגבולות החדשים. 
  5. ניסוח האינטגרל - פונקציה עליונה פחות פונקציה תחתונה.
  6. כתיבת גבולות האינטגרל- תחום עליון למעלה ותחום תחתון למטה. 
  7. פתרון האינטגרל המסוים וקבלת תוצאה מספרית אשר שווה לשטח הנדרש.