חיסור לוגריתמים

חיסור לוגריתמים

תזכורת - לוגריתמים

תחילה ניזכר במהי ההגדרה של \(log\)?
\(log_a⁡x=b\)
כאשר \(a \) הוא בסיס הלוג (בדרך כלל \(10\))
\(b\) החזקה שנעלה בה את \(a \) 
\(X\) הוא המספר שמופיע בתוך הלוג, לפעמים מופיע בסוגריים והוא המספר שנקבל כאשר \(a \) יהיה בחזקת \(b\)
כלומר:
\(X=a^b\)
לדוגמה אם יופיע לפנינו תרגיל כזה:
\(log_5⁡25=\)
נחשוב באיזה חזקה צריך להעלות את \(5\) כדי לקבל \(25\)....?
התשובה היא בחזקת \(2\) ולכן הפתרון הוא \(2\).

חיסור לוגריתמים עם בסיס זהה

כדי לחסר לוגריתמים בקלות עם אותו בסיס, כל מה שאתם צריכים הוא להכיר את הכלל הבא בנושא חיסור לוגריתמים עם בסיס זהה:
\(log_a⁡x-log_a⁡y=log_a⁡\frac{x}{y}\)
הכלל אומר שאם תרצו לחסר \(2\) לוגים עם בסיס זהה, תוכלו לכתוב אותם כלוג \(1\) ולחלק את  המספרים שבתוך הלוג. ככה יהיה קל יותר לפתור לפעמים.
שימו לב – המונה תמיד יהיה הלוג הראשון שממנו מחסרים והמכנה תמיד יהיה הלוג השני אותו מחסירים מהמקור.
 

בואו ונראה דוגמה:
\(log_7⁡147-log_7⁡3=\)
במבט ראשוני התרגיל הזה נראה מאיים. אבל תכף תראו איך בעזרת כלל החיסור של לוגים זהים הוא הופך לפשוט.
באיזו חזקה נעלה את \(7\) כדי לקבל \(147\)?... ובאיזו חזקה נצטרך להעלות את \(7\) כדי לקבל \(3\)?
כל מה שצריך לעשות הוא לחלק בין המספרים שמופיעים בלוג ולהשאיר את הבסיס זהה – \(7\).
כמובן שנעשה את זה לפי הסדר – במונה נשים את המספר הראשון \(147\) ובמכנה נשים את המספר השני \(3\).
כלומר נקבל:
\(log_7⁡147-log_7⁡3=log_7⁡\frac{147}{3}\)
ובעצם:
\(log_7⁡\frac{147}{3}=log_7⁡(49)\)
עכשיו הרבה יותר קל לנו לפתור את המשוואה!
אנחנו יודעים שצריך להעלות את \(7\) בחזקת \(2\) כדי לקבל \(49\) ולכן כל התשובה לתרגיל הזה היא \(2\).
\(log_7⁡(49)=2\)

שימו לב – כלל זה תקף רק במקרים בהם הבסיס זהה. אם הבסיס לא היה זהה בשני הלוגים לא היינו יכולים להשתמש בכלל.

חיסור לוגריתמים עם בסיס זהה

מה קורה במקרה שיש תרגיל חיסור עם לוגים והבסיסים שונים?

כדי לחסר לוגים עם בסיס שונה אתם צריכים להשתמש בכלל שינוי בסיס לוג.
המטרה היא – להביא את שני הלוגים לאותו בסיס.

איך משנים בסיס לוג?

הכירו את חוק החלפת בסיס הלוג:
\(log_aX=\frac{log_{הבסיס~שאליו~רוצים~לעבור}X}{log_{הבסיס~שאליו~רוצים~לעבור}a}\)

ועכשיו להסבר:
כאשר יש לנו לוג בבסיס \(a\) למשל ונרצה להעביר אותו ללוג אחר, תמיד נהפוך אותו לשבר בצורה הבאה:

1. נצייר קו שבר.
2. במונה נכתוב את הלוג בבסיס שנרצה לעבור אליו עם מה שהיה בלוג המקורי.
3. במכנה נכתוב את הלוג בבסיס שנרצה לעבור אליו כשבתוך הלוג יהיה הבסיס של הלוג המקורי.

בואו ונראה דוגמה:

\(log_{25⁡}2=\)
העבירו את הלוג הבא לבסיס מספר \(5\):

\(log_{25}625=\frac{log_5⁡625}{log_5⁡25} \)

במונה נרשום לוג בבסיס \(5\), הבסיס שאליו נרצה לעבור. המספר שיהיה בתוך הלוג במונה הוא המספר המקורי שמופיע בתוך הלוג – כלומר \(625\).

במכנה נרשום שוב לוג בבסיס \(2\), הבסיס שאליו נרצה לעבור אך הפעם, המספר שיהיה בתוך הלוג הוא הבסיס המקורי – כלומר \(25\)
עכשיו נוכל לפתור בקלות. נקבל:

\(\frac{log_5⁡625}{log_5⁡25} =\frac{4}{2}=2\)

תרגיל למתקדמים:
עכשיו תוכלו לפתור חיסור לוגריתמים עם בסיס שונה:
\(log_3⁡x-log_9⁡x=2\)
נרצה להעביר את שני הלוגים לבסיס זהה ובדרך כלל נבחר בבסיס הקטן יותר – \(3\).
ולכן:
\(log_9⁡x=\frac{log_3⁡x}{log_3⁡9} \)
נכתוב כעת את התרגיל מחדש ונציב את מה שקיבלנו:
\(log_3⁡x-\frac{log_3⁡x}{log_3⁡9} =2\)

נציב \(log_3⁡9=2\)
ונקבל:
\(log_3⁡x-\frac{log_3⁡x}{2}=2\)
\(log_3⁡x-0.5log_3⁡x=2\)

\(0.5 log_3⁡x=2\)
\(log_3⁡x=4\)
\(x=3^4\)

\(x=81\)