חיבור לוגריתמים

חיבור לוגריתמים

תזכורת - לוגריתמים

תחילה ניזכר במהי ההגדרה של \(log\)?
\(log_a⁡x=b\)
כאשר \(a \) הוא בסיס הלוג (בדרך כלל \(10\))
\(b\) החזקה שנעלה בה את \(a \)
\(X\) לפעמים מופיע בסוגריים הוא המספר שנקבל כאשר \(a \) יהיה בחזקת \(b\), נקרא גם המספר שבתוך הלוג.
כלומר:
\(X=a^b \)

לדוגמה אם יופיע לפנינו תרגיל כזה:
\(log_6⁡36= \)

נחשוב באיזה חזקה צריך להעלות את \(6\) כדי לקבל \(36\)....?
התשובה היא בחזקת \(2\) ולכן הפתרון הוא \(2\).

חיבור לוגריתמים עם בסיס זהה

כדי לחבר לוגריתמים בקלות עם אותו בסיס, כל מה שאתם צריכים הוא להכיר את הכלל הבא:
\(log_a⁡x+log_a⁡y=log_a⁡(x\cdot y)\)
הכלל אומר שאם תרצו לחבר \(2\) לוגים עם בסיס זהה, תוכלו לכתוב אותם כלוג \(1\) ולהכפיל את המספרים שבתוך הלוג. ככה יהיה קל יותר לפתור לפעמים.

בואו ונראה דוגמה:
\(log_8⁡32+log_8⁡2=\)
אם לא הייתם מכירים את הכלל הזה למשל, היית נתקלים בבעיה.
באיזו חזקה נעלה את \(8\) כדי לקבל \(2\)?... ובאיזו חזקה נצטרך להעלות את \(8\) כדי לקבל \(32\)?
כאן נכנס הכלל שלמדתם למעלה!
כל מה שצריך לעשות הוא להכפיל בין המספרים שמופיעים בלוג ולהשאיר את הבסיס זהה – \(8\).
כלומר נקבל:
\(log_8⁡32+log_8⁡2=log_8⁡(32\cdot2)\)
ובעצם:
\(log_8⁡(32\cdot2)=log_8⁡(64)\)
עכשיו הרבה יותר קל לנו לפתור את המשוואה!
אנחנו יודעים שצריך להעלות את \(8\) בחזקת \(2\) כדי לקבל \(64\) ולכן כל התשובה לתרגיל הזה היא \(2\).
\(log_8⁡(64)=2\)

שימו לב – כלל זה תקף רק במקרים בהם הבסיס זהה. אם הבסיס לא היה זהה בשני הלוגים לא היינו יכולים להשתמש בכלל.
זכרו!
כאשר יש לכם בסיס זהה בשני הלוגים ופעולת חיבור ביניהם, תוכלו להכפיל את המספרים שנמצאים בתוך הלוגים ולהשאיר את הבסיס כמו שהוא – חיבור~כפל

חיבור לוגריתמים עם בסיס זהה

מה קורה במקרה שיש תרגיל חיבור עם לוגים והבסיסים שונים?
כדי לחבר לוגים עם בסיס שונה כדאי מאוד שתכירו את הכלל שבאמצעותו אפשר לנות את בסיס הלוג.
המטרה היא – להביא את שני הלוגים לאותו בסיס.

איך משנים בסיס לוג?

הכירו את חוק החלפת בסיס הלוג:
\(log_aX=\frac{log_{הבסיס~שאליו~רוצים~לעבור}X}{log_{הבסיס~שאליו~רוצים~לעבור}a}\)

ועכשיו להסבר:
כאשר יש לנו לוג בבסיס \(a\) למשל ונרצה להעביר אותו ללוג אחר:

1. נצייר קו שבר.
2. במונה נכתוב את הלוג בבסיס שנרצה לעבור אליו עם מה שהיה בלוג המקורי.
3. במכנה נכתוב את הלוג בבסיס שנרצה לעבור אליו כשבתוך הלוג יהיה הבסיס של הלוג המקורי.

בואו ונראה דוגמה:

\(log_8⁡16=\)
העבירו את הלוג הבא לבסיס מספר \(2\):

\(log_8⁡16=\frac{log_26}{log_28}\)

במונה נרשום לוג בבסיס \(2\), הבסיס שאליו נרצה לעבור. המספר שיהיה בתוך הלוג במונה הוא המספר המקורי שמופיע בתוך הלוג – כלומר \(16\).

במכנה נרשום שוב לוג בבסיס \(2\), הבסיס שאליו נרצה לעבור אך הפעם, המספר שיהיה בתוך הלוג הוא הבסיס המקורי – כלומר \(8\)
עכשיו נוכל לפתור בקלות. נקבל:

\(\frac{log_2⁡16}{log_2⁡8} =\frac{4}{3}\)

זכרו – תמיד כשתרצו להעביר לבסיס לוג אחר, תצטרכו להפוך את הלוג לשבר לפי הכלל שלמדתם עכשיו.
תרגיל למתקדמים: עכשיו תוכלו לפתור חיבור לוגריתמים עם בסיס שונה:
\(log_{25}⁡x+  log_5⁡x=3\)
נרצה להעביר את שני הלוגים לבסיס זהה ובדרך כלל נבחר בבסיס הקטן יותר – \(5\).
ולכן:

\(log_{25⁡}x=\frac{log_5⁡x}{log_5⁡25} \)
נכתוב כעת את התרגיל מחדש ונציב את מה שקיבלנו:

\(\frac{log_5⁡x}{log_5⁡25}  ⁡+  log_5⁡x=3\)

נציב \(log_5⁡25=2\)
ונקבל:
\(\frac{log_5⁡x}{2}⁡+  log_5⁡x=3\)
\(0.5⁡log_5⁡x+log_5⁡x=3\)

\(1.5 log_5⁡x=3\)
\(log_5⁡x=2\)
\(x=5^2\)

והגענו לפתרון הסופי:
\(x=25\)