חזקות של מספרים שליליים

חזקות של מספרים שליליים

במאמר הזה תלמדו כל מה שאתם צריכים לדעת על חזקות של מספרים שליליים ותבינו את ההבדל בין חזקה שנמצאת בתוך הסוגריים לבין חזקה שנמצאת מחוץ לסוגריים. 
שנתחיל?

חוקי חזקות של מספרים שליליים

עד עכשיו למדנו איך לפתור תרגילי חזקות על מספריים חיוביים ותמיד קיבלנו תוצאות חיוביות.
כאשר יש לנו חזקה על מספר שלילי, נוכל לקבל תוצאה חיובית או תוצאה שלילית.

העלאת מספר שלילי בחזקה זוגית

כאשר נעלה מספר שלילי כלשהו בחזקה שהיא בעצמה מספר זוגי – חזקה זוגית, נקבל תוצאה חיובית.
לדוגמה:
\((-3)^2=\)
אם נרצה לפשט את התרגיל נקבל:
\((-3)*(-3)=\)
מינוס כפול מינוס = פלוס
ולכן התוצאה תהיה \(9\).
במצב בו המספר שלילי והחזקה זוגית, נוכל להתעלם מהמינוס. ננסח זאת ככל:
כאשר \(n\) זוגי:
\((-x)^n=x^n\)

העלאת מספר שלילי בחזקה אי זוגית

כאשר נעלה מספר שלילי כלשהו בחזקה שהיא בעצמה מספר אי זוגי – חזקה אי זוגית, נקבל תוצאה שלילית.
לדוגמה:
\((-3)^3=\)
אם נרצה לפשט את התרגיל נקבל:
\((-3)*(-3)*(-3)=\)
מינוס כפול מינוס = פלוס 
פלוס כפול מינוס = מינוס 
ולכן התוצאה תהיה \(-27\).
במצב בו המספר שלילי והחזקה אי זוגית, לא נוכל להתעלם מהמינוס ותמיד נקבל תוצאה שלילית.
 ננסח זאת ככלל:
כאשר \(n\) אי זוגי:

\((-x)^n=-(x)^n\)

בואו נתרגל:

פתרו את התרגיל:
\((-4)^3=\)

פתרון:
בתרגיל זה החזקה היא אי זוגית.
לכן התוצאה חייבת להיות שלילית.
נקבל:
\((-4)*(-4)*(-4)=-64\)

פתרו את התרגיל:
\((-2)^4=\)

פתרון:
בתרגיל הזה החזקה היא זוגית. לכן נוכל להתעלם מהמינוס ונקבל תוצאה חיובית.
נקבל:
\((-2)*(-2)*(-2)*(-2)=16\)

פתרו את התרגיל:
\((-5)^5=\)

פתרון:
בתרגיל זה החזקה היא אי זוגית. לכן התוצאה תהיה שלילית.
נקבל:
\((-5)*(-5)*(-5)*(-5)*(-5)=-3125\)

מה ההבדל בין חזקה שנמצאת בתוך הסוגריים לבין חזקה שנמצאת מחוץ לסוגריים?

חשוב שתדעו, שההבדל הוא גדול.

כאשר יש לנו חזקה שנמצאת מחוץ לסוגריים - 
אנו מכפילים את כל המספר שנמצא בתוך הסוגריים בעצמו, כמספר הפעמים שמופיע בחזקה.
לדוגמה: 
\((-4)^2=\)
\((-4)*(-4)=16\)

לעומת זאת, כאשר יש לנו חזקה שנמצאת בתוך הסוגריים (ולפעמים בלי סוגריים בכלל) - 
באופן הזה:
\((-4^2 )=\)
או
\(-(4^2 )=\)
או 
\(-4^2=\)
החזקה מתייחסת אך ורק למספר ולא למינוס שלפניו.
לכן, נחשב את החזקה ונוסיף את המינוס כמעין תוספת.
נקבל:
\(-4^2=-16\)

קיבלנו \(2\) תוצאות שונות! לכן חשוב לשים לב על מה בדיוק פועלת החזקה. 
אם החזקה מחוץ לסוגריים -  היא פועלת על כל מה שנמצא בתוך הסוגריים.
אם החזקה בתוך הסוגריים – היא פועלת רק על המספר אליו היא שייכת ולא על המינוס שלפניו.

בואו ונראה איך עושים את זה בתרגילים מורכבים יותר:

פתרו את התרגיל:
\((-2)^4-3^2=\)

פתרון:
נתחיל עם \((-2)^4\)
החזקה חיובית, נמצאת מחוץ לסוגריים ולכן פועלת על כל \(-2\).
נקבל: \((-2)^4 = 16\)
נכתוב את התרגיל מחדש ונקבל:
\(16-3^2=\)
כעת נמשיך עם המשך התרגיל.
באיבר השני אין סוגריים, זאת אומרת שהחזקה מתייחסת רק ל3 מבלי להתייחס למינוס שנמצא לפניו.
אנחנו יודעים ש\(3^2= 9\)
לכן נכתוב את התרגיל מחדש כך:
\(16-9=7\)
שימו לב – אמנם החזקה חיובית אבל היא לא שייכת לכל ה \(-3\) לכן לא נכתוב \(9\) אלא \(-9\).