חזקות - מקרים מיוחדים

חזקות - מקרים מיוחדים

חזקות של מספרים שליליים

כאשר יש לנו חזקה על מספר שלילי, נוכל לקבל תוצאה חיובית או תוצאה שלילית.
נדע זאת לפי החזקה – אם היא זוגית או אי זוגית.

העלאת מספר שלילי בחזקה זוגית

כאשר נעלה מספר שלילי בחזקה זוגית, נקבל תוצאה חיובית.
לדוגמה:
\((-4)^2=\)
אם נרצה לפשט את התרגיל נקבל:
\((-4)*(-4)=\)
מינוס כפול מינוס = פלוס
ולכן התוצאה תהיה \(16\).
בעצם – אם המספר שלילי והחזקה זוגית, נוכל להתעלם מהמינוס.
ננסח זאת ככלל:
כאשר \(n \) זוגי:
\((-x)^n=x^n\)

העלאת מספר שלילי בחזקה אי זוגית

כאשר נעלה מספר שלילי בחזקה אי זוגית, נקבל תוצאה שלילית.
לדוגמה:
\((-4)^3=\)
אם נרצה לפשט את התרגיל נקבל:
\((-4)*(-4)*(-4)=64\)

מינוס כפול מינוס = פלוס 
פלוס כפול מינוס = מינוס 
ולכן התוצאה תהיה \(64-\).
בעצם- אם המספר שלילי והחזקה אי זוגית, לא נוכל להתעלם מהמינוס ותמיד נקבל תוצאה שלילית.
 ננסח זאת ככלל:
כאשר \(n \) אי זוגי:
\((-x)^n=-(x)^n\)

שימו לב! יש הבדל עצום אם החזקה נמצאת התוך הסוגריים לבין אם החזקה נמצאת מחוץ לסוגריים!
כאשר החזקה מחוץ לסוגריים -  היא פועלת על כל מה שנמצא בתוך הסוגריים.
כמו בתרגיל הבא:
\((-5)^2=\)
\((-5)*(-5)=25\)

כאשר החזקה בתוך הסוגריים – היא פועלת רק על המספר אליו היא שייכת ולא על המינוס שלפניו.
\((-5^2 )=\)
או
\(-(5^2 )=\)
או 
\(-5^2=\)
החזקה מתייחסת אך ורק למספר ולא למינוס שלפניו.
לכן, נחשב את החזקה ונוסיף את המינוס כמעין תוספת.
נקבל:
\(-5^2=-25\)

לחצו כאן אם אתם רוצים ללמוד עוד על חזקות של מספרים שליליים.
 

חזקות עם מעריך \(0\) 

כל מספר עם חזקה \(0\) יהיה שווה ל-\(1\). (חוץ מ\(0\))
לא משנה איזה מספר נעלה בחזקת \(0\), תמיד נקבל תוצאה \(1\).
בואו ונראה כמה דוגמאות:
\(5^0=1\)
\(5.897^0=1\)
\(10000^0=1\)
\((\frac{2}{3})^0=1\)

לחצו כאן כדי להבין את ההיגיון מאחורי הכלל וללמוד עוד על חזקות עם מעריך 0.

חזקות עם מעריך שלם שלילי

בתרגיל בו יש לנו חזקה שלילית, נהפוך את האיבר לשבר כאשר:
 במונה יהיה \(1\) ובמכנה, בסיס החזקה עם החזקה החיובית.

לדוגמה:
\(3^{-2}=\)
נהפוך את המספר לשבר כאשר במונה יהיה \(1\) ובמכנה יהיה \(3\) עם חזקה \(2\).
נקבל:
\(\frac{1}{3^2}\)

דוגמה נוספת:
\(6^{-3}=\)
נהפוך את המספר לשבר כאשר במונה יהיה \(1\) ובמכנה יהיה \(6\) בחזקה החיובית \(3\).
נקבל:
\(\frac{1}{6^3}\)

נעבור לדוגמה מורכבת יותר:
\(\frac{2^{-3}}{4^{-2}}=\)

אנחנו יודעים שהתרגיל נראה מעט מאיים, אבל אם נעבוד לפי הכלל שלמדנו נוכל לפתור אותו דיי בקלות.
זיכרו שהחוקים לא משתנים – כאשר יש בסיס עם חזקה שלילית, הוא הופך לשבר לפי החוקים שלמדנו. נהפוך כל איבר לשבר ונקבל:
\(\frac{1}{2^3}\over\frac{1}{4^2}\)
כעת, פשוט נשתמש בכלל האוזן או בחוק חילוק בין שברים:
\(\frac{1}{2^3}:\frac{1}{4^2}=\)

נהפוך לפעולת כפל ונהפוך את השבר המחולק. נקבל:
\(\frac{1}{2^3}\cdot\frac{4^2}{1}=\)
נפתור ונקבל:
\(\frac{4^2}{2^3}=\)
נוכל לבטא את \(4\) בתור \(2^2  \) ולקבל:
\(\frac{(2^2)^2}{2^3}=\)
נשתמש בחוק חזקה על חזקה ונקבל:
\(2^4\over2^3\)
מאחר ושני הבסיסים זהים, נוכל לחסר בין החזקות לפי חוק חזקות מנה עם בסיסים זהים.
נקבל:
\(2^1=2\)
שימו לב – היינו יכולים לפתור את התרגיל גם ללא החוק ולקבל:
\(\frac{2^4}{2^3}=\frac{16}{8}=2\)

נקודה למחשבה:
אם היינו חושבים להפוך בתחילת התרגיל את \(4^2\) ל- \(2^4\) היינו מקבלים תרגיל קל יותר בהרבה לפתרון.
כך, היינו יוצרים מלכתחילה שבר עם בסיסים זהים ולכן היינו יכולים לחסר בין החזקות.

מה עושים כאשר יש שבר ולכולו חזקה שלילית?

נהפוך את המיקומים של המונה והמכנה ואת החזקה נהפוך לחיובית.
לדוגמה:
\((\frac{6}{8})^{-2}=\)
נהפוך את המיקומים של המונה והמכנה, את החזקה נהפוך לחיובית ונקבל:
\((\frac{8}{6})^{2}=\)

לחצו כאן אם אתם רוצים ללמוד עוד על חזקות עם מעריך שלם שלילי.