חזקות ושורשים

חזקות ושורשים

מה זה חזקה?

חזקה היא הדרישה מהמספר להיות מוכפל בעצמו מספר פעמים.
במילים אחרות, כשאנחנו רואים מספר בחזקה מסוימת, אנחנו יודעים שעלינו לכפול את המספר כמה פעמים בעצמו כדי להגיע למספר האמיתי. 

איך קוראים נכון מספר עם חזקה?

בואו ונלמד תוך כדי דוגמה:

בסיס החזקה – בסיס החזקה הוא המספר שעליו מתקיימת הדרישה להיות מוכפל בעצמו כמות מסוימת של פעמים.
איך נזהה אותו?
 מספר עיקרי הכתוב בגדול – בדוגמה שלנו המספר הזה הוא \(4\).

מעריך החזקה – מעריך החזקה הוא המספר שקובע כמה פעמים בסיס החזקה נדרש להיות מוכפל בעצמו.
איך נזהה אותו?
מעריך החזקה כתוב בקטן ומופיע בצד ימין מעל לבסיס החזקה – בדוגמה שלנו המספר הזה הוא \(2\).

נקרא אותו כך: \(4\) בחזקת \(2\).

איך פותרים חזקה?

כדי לפתור חזקה, עלינו להכפיל את בסיס החזקה בעצמו ככמות הפעמים שמעריך החזקה דורש מאיתנו.
נחזור לדוגמה:

בסיס החזקה = \(4\)
מעריך החזקה = \(2\) 

ניקח את בסיס החזקה ונכפול אותו בעצמו \(2\) פעמים.
נקבל:
\(4*4=16\)
ובעצם -
\(4^2=16\)

בואו ונתרגל דוגמה נוספת.

איך פותרים את החזקה הבאה:
\(5^3=\)

פתרון:
נבין מיהו בסיס החזקה ומיהו המעריך.
בסיס החזקה = \(5\)
מעריך החזקה = \(3\)
זאת אומרת שנצטרך לכפול את \(5\) בעצמו \(3\) פעמים.
נקבל:
\(5*5*5=125\)
ובעצם:
\(5^3=125\)

עוד דוגמה:

פתרו את החזקה הבאה:
\(3^3=\)

פתרון:
במבט הראשוני אנו רואים שבסיס החזקה ומעריך החזקה זהים. האם זה משנה לנו משהו? ממש לא, אנחנו עובדים לפי החוקים.
נכפיל את המספר \(3\) בעצמו – במשך \(3\) פעמים ונקבל:
\(3*3*3=27\)

ובעצם –
\(3^3=27\)

עוד דוגמה:
פתרו את החזקה הבאה:
\(1^4=\)
עלינו לקחת את המספר \(1\) ולהכפיל אותו בעצמו \(4\) פעמים. נקבל:
\(1*1*1*1=1\)
מה היה קורה אם היינו מקבלים חזקה כזו?
\(1^{700}=\)
האם באמת היינו צריכים לכתוב את המספר \(1\) במשך \(700\) פעמים כדי להבין שבסוף התוצאה תהיה \(1\)?
לא.
מכאן ניתן להסיק ש: \(1\) בחזקת כל מספר שווה ל\(1\).

נקודה למחשבה – מה קורה כשהמעריך הוא \(1\)?
כאשר המעריך הוא \(1\) המספר לא משתנה כלל וניתן להתייחס אליו כאילו הוא כבר ביצע את החזקה.
לדוגמה:
\(7^1=7\)
כל מספר בחזקת \(1\) הוא המספר עצמו.

עוד נקודה למחשבה – מה קורה כשהמעריך הוא \(0\)?
כאשר המעריך של המספר הוא \(0\), נקבל תוצאה \(1\). לא משנה באיזה מספר מדובר.
כל מספר בחזקת \(0\) יהיה שווה ל-\(1\).
זאת אומרת:
\(2^0=1 \)
\(​​​​​​​7^0=1\)
\({4,675}^0=1\)

מה זה שורש?

שורש שווה לחזקת \(0.5\)5 ומסומן בסימן  \(√\).
נוכל להגיד ש: \(\sqrt{a}=a^{0.5}\)
שורש הוא הפעולה ההפוכה מחזקה.
אם מופיע מספר קטן בצד שמאל, זהו יהיה סדר השורש.

כאשר מספר כלשהו מופיע בתור שורש רגיל, נשאל את עצמו איזה מספר היינו צריכים להכפיל בעצמו פעמיים בלבד כדי להגיע למספר בתוך השורש?
במילים אחרות, איזה מספק בחזקת \(2\) ייתן לנו את המספר שמופיע בתוך השורש.
לדוגמה:
\(\sqrt4=2\)

אם נכפיל את \(2\) פעמיים בעצמו נגיע ל\(4\).

עוד דוגמה:
\(\sqrt16=\)

פתרון:
אם נכפיל את המספר \(4\) פעמיים כפול עצמו נקבל \(16\) ולכן:
\(\sqrt16=4\)

מה כדאי לדעת על שורש?

• תוצאת השורש תמיד תהיה חיובית!
  לעולם לא תתקבל תוצאה שלילית. נוכל לקבל תוצאת \(0\).
• ל- \(\sqrt{מספר~שלילי}\) אין תשובה!

חשוב לדעת- שורש וחזקה קודמים לכל ארבע פעולות החשבון. 
קודם נבצע את פעולת השורש והחזקה ורק אחר כך נפנה לסדר פעולות חשבון.