חזקה בלוגריתם

חזקה בלוגריתם

חשוב מאוד – חיזרו על כל חוקי הלוגריתמים – החל מהגדרת הלוג, כפל, חיבור ושינוי בסיס הלוג. נושא זה כולל את כל הנושאים בתוכו.

לפני הכל נלמד את הכלל הבא:
\(log_a (a^x)=x\)
הכלל הזה יעזור לנו להיפתר מביטויים ארוכים ומסורבלים בהמשך, אז זכרו אותו.
תרגילים שבהם הלוג מופיע בחזקה, באים בדרך כלל כמשוואה.

דרכי הפעולה לפתרון:

1. נוציא לוגריתם בבסיס זהה לשני צידי המשוואה.
   הבסיס יהיה הבסיס המקורי – זה שעליו מופעלת חזקת הלוג.
   זהו שלב טכני לחלוטין בו אנו כותבים לוג לשני צידי המשוואה. תוכן הלוג יהיה הנתונים המקוריים.
2. נשתמש בכלל \(log_a (a^x)=x\)
3. ניצור בסיס משותף בין \(2\) גורמי המשוואה על מנת להגיע לפתרון. במידה ואחד מהבסיסים הוא X נרצה להמיר אותו לבסיס השני.
4. נפתור את הלוגים שניתן לפתור ונהפוך אותם למספרים.
5. נציב משתנה עזר \(T\) במידת הצורך
6. נחזור למצוא את \(X\).

אנחנו יודעים, זה נראה קצת לא מובן ומסורבל, אבל בואו תראו איך תוך כדי פתרון נעקוב אחר השלבים ונפתור את משוואה עם לוג בחזקה בקלות.

לפניכם התרגיל:
\(x^{1+log_2 4x}=16\)

פתרון:

1. בשלב הראשון אנו מוציאים לוגריתם בבסיס זהה לשני צידי המשוואה.
   הבסיס הוא הבסיס המקורי = בתרגיל זה \(X\) (עליו מופעלת חזקת ה\(log\))
   נקבל:
   \(x^{1+log_2 4x}=log_x16\)
   פשוט עבודה טכנית – הוצאת לוג בבסיס זהה לפי הבסיס המקורי ל\(2\) צידי המשוואה.
2. כעת ניזכר בכלל החשוב שלמדנו בתחילת המאמר:
   \(log_a (a^x)=x\)
   לפי הכלל, אנו יכולים להוריד את כל הביטוי בצד השמאלי ולהשאיר שם רק את החזקה. כי הרי לפי הכלל:
   \(log_x (x^{1+log_2 4x} )=1+log_2 4x\)
   לכן זה מה שנעשה, נציב  ונמשיך את המשוואה באופן הזה:
   \(1+log_2 4x=log_x 16\)
3. כעת אנו צריכים ליצור גורם משותף שיוביל אותנו אל הפתרון.
   איך נעשה את זה?
   ניזכר בחוק של שינוי בסיס הלוגריתם:
   \(log_aX=\frac{log_{הבסיס~שאליו~רוצים~לעבור}X}{log_{הבסיס~שאליו~רוצים~לעבור}a}\)
   נרצה להמיר את הלוגריתם בבסיס \(X\) לבסיס \(2\). נשתמש בכלל ונקבל ש:
   \(log_x 16=\frac{log_2⁡16}{log_2⁡x }\)
   כעת נציב במשוואה ונקבל:
   \(1+log_2 4x=\frac{log_2⁡16}{log_2⁡x }\)
   נמשיך עם חוקי לוגריתמים – 
   לפי חוק הכפל: 
   \(log_a⁡(x\cdot y)=log_a⁡x+log_a⁡y\)
   ולכן באגף שמאל נהפוך את 
   \(1+log_2 4x=\)
   ל:
   \(1+log_2 4+log_2 x\)
   נציב במשוואה ונקבל:
   \(1+log_2 4+log_2 x=\frac{log_2⁡16}{log_2⁡x }\)
4. כעת נשים לב שחלק מהביטויים נוכל להפוך למספרים. ככה נוכל לקבל תרגיל הרבה פחות מורכב והרבה יותר נעים לעין.
   \(log_2 4=2\)
   \(log_2⁡16=4\)
   כעת נציב את זה במשוואה ונקבל:
   \(1+2+log_2 x=\frac{4}{log_2⁡x }\)
   \(3+log_2 x=\frac{4}{log_2⁡x }\)
   כעת נכפול ב \(log_2 x \) כדי להסיר את המכנה מהמשוואה ונקבל:
   \(3\cdot log_2 x+(log_2 x)^2=4\)
5. כעת נשתמש בגורם העזר \(T\) ונציב אותו בתור הביטוי עם הלוג.
   נקבל ש: \( log_2 x=t\)
   נציב במשוואה ונקבל:
   \(3t+t^2=4\)
   נעביר אגפים, נפרק את המשוואה לגורמים ונקבל ש:
   \(T_1=-4\)
   \(T_2=1\)
   נציב למציאת \(X\) ונקבל:
   פתרון ראשון כאשר \(T_1=-4\)
   \(log_2 x=-4\)
   \(​​​​​​​x=2^{-4}=0.0625\)
   פתרון שני כאשר \(T_2=1\)
   \(log_2 x=1\)
   \(x=2^1=2\)

שימו לב – יכולים להופיע לכם תרגילים ללא בסיס \(X\) אלא עם בסיס שהוא מספר. בדרך כלל הם תרגילים יותר פשוטים וקלים שלא מצריכים משתנה עזר \(T\). אך אם תדעו לפתור תרגילי חזקה בלוגריתם עם בסיס \(X\) בוודאי שבסיס רגיל יהיה לכם פשוט יותר. דרך הפתרון היא זהה.