חוקי שורשים עם נעלמים

חוקי שורשים עם נעלמים

במאמר הזה תלמדו את כל חוקי השורשים עם נעלמים ותלמדו למצוא את התנאים על הנעלמים בתוך השורש!
נשמע מסובך? אל דאגה! למידה קלילה, כמה תרגילים ואתם לגמרי על הגל.

החוק הכללי בנושא שורשים עם נעלמים הוא תחום ההגדרה של השורש.

החוק הכללי החשוב ביותר:

המספר או כל הביטוי שנמצא בתוך השורש יכול להיות \(0\) או גדול מ-\(0\) ואף פעם לא שלילי.

כלומר:
\(\sqrt X\)
התנאי: \(X≥0\)
\(X\) חייב להיות גדול או שווה ל-\(0\).

לאחר שהבנו את הכלל החשוב הזה, נמשיך אל כללים נוספים של שורשים ונשים את הדגש על הנעלמים.

שורש של מכפלה

כאשר השורש יופיע על כל המכפלה, נוכל לפרק כל גורם ולהפעיל עליו את השורש תוך השארת סימן הכפל בין הגורמים.
באופן הזה:
\(\sqrt{a*b} = \sqrt a * \sqrt b\)

כמו שלמדנו למעלה, המספר או כל הביטוי שנמצא בתוך השורש חייב להיות גדול או שווה ל-\(0\) ולכן התנאי הוא ש:

\(a*b≥0\)
שימו לב! 
מאחר וחוק המכפלה מאפשר לנו לפרק כל גורם בנפרד ולהפעיל עליו את השורש, לא מספיק שהמכפלה של a  ו-b  תהיה גדולה או שווה ל-0 אלא שהתנאי יהיה גם על \(a\) ו-\(b\)  בעצמם.
לכן כל התנאים יראו כך:

\(a*b≥0\)
\(a≥0\)
\(b≥0\)

שורש של מנה

כאשר השורש יופיע על כל המנה (על כל השבר) , נוכל לפרק כל גורם ולהפעיל עליו את השורש תוך השארת סימן החילוק (קו השבר) בין הגורמים.
באופן הזה:

\(\sqrt \frac {X}{Y} = \frac{\sqrt X}{\sqrt Y}\)

נתבסס על החוק הכללי שאומר שהמספר מתחת לשורש חייב להיות גדול או שווה ל-\(0\) ונקבל את התנאים הבאים:
\(\frac{a}{b} ≥ 0\)
בהתבסס על חוק שורש של מנה נקבל:
\(a≥0\)
\(b>0\)

שימו לב! מאחר ו-\(b\) נמצא במכנה הוא לא יכול להיות \(0\) ולכן התנאי הוא רק גדול מ-\(0\).
ועכשיו לתרגל!
מה התנאי על הנעלם \(X\)?

\(\sqrt \frac{X+4}{2} =\)

פתרון:
לפי כלל שורש של מנה, המונה חייב להיות גדול או שווה ל-\(0\) והמכנה חייב להיות גדול מ-\(0\).
המכנה הוא \(2\) מספר חיובי.
עכשיו נותר לוודא שגם המונה גדול או שווה ל-\(0\).
נעתיק את המונה עם התנאי ונקבל:
\(x+4≥0\)
נעביר אגפים ונקבל:
\(x≥-4\)
זה התנאי על הנעלם \(X\).

עוד תרגיל:
מה התנאי על הנעלם \(X\)?
\(\sqrt{3*X-2} = \)
פתרון:
אנו יודעים שהמספר או כל הביטוי מתחת לשורש חייב להיות שווה ל-\(0\) או גדול מ-\(0\). נעתיק את כל הביטוי מתחת לשורש עם התנאי ונקבל:
\(3*X-2≥0\)
נעביר אגפים ונקבל:
\(3X≥2\)
\(X≥2/3\)
זה התנאי על \(X\).

עוד תרגיל:

מה התנאי על \(X\)  ומה התנאי על \(Y\)?
\(\sqrt \frac {2X-1}{Y+2} =\)

פתרון:
לפני שנתחיל לפתור, נחשוב על כל התנאים שצריכים להתקיים.
הכלל הראשון הוא שהמספר מתחת לשורש יהיה חיובי או שווה ל-\(0\).
כלומר:\(\sqrt \frac {2X-1}{Y+2} \)
לפי כלל מנה של שורש נוכל לבטא את התרגיל גם כך:

\(\frac {\sqrt {2X-1}}{\sqrt {Y+2}} =\)
המונה \(2X-1 \) נמצא מתחת לשורש ולכן חייב להיות גדול או שווה ל-\(0\).
נעתיק את המונה עם התנאי ונקבל:
\(2X-1≥0\)
נעביר אגפים ונקבל:
\(2X≥1\)
\(x≥1/2\)
זה התנאי על \(X\).
עכשיו נעבור למכנה – 
אם היינו עובדים באופן אוטומט, היינו אומרים שכל הביטוי מתחת לשורש חייב להיות גדול או שווה ל-\(0\). אבל! חדי העין בוודאי שמו לב שמדובר במכנה! ולכן אסור לו להיות שווה ל-\(0\). לכן התנאי יהיה שהמכנה גדול מ-\(0\).
נקבל:
\(y+2>0\)
נעביר אגפים ונקבל:
\(Y>-2\)
זה התנאי על \(Y\).