דלג על הניווט

חוקי לוגריתמים


יש סיכוי סביר כי אחת הסיבות שמתמטיקה מעוררת כל כך הרבה חלחלה ופחד בקרב תלמידי תיכון ואוניברסיטה היא השמות המלחיצים של הנושאים שלה. "חוקי לוגריתמים" היא דוגמה מצוינת - עוד צמד מילים מפחידות שנתקלים בהן במהלך לימודי המתמטיקה, אבל אם נכנסים קצת לעומק הנושא ומבינים מה עומד מאחורי המילים האלו, הפחד עשוי להתפוגג לגמרי.

כדי להפיג לכם קצת את החשש ואת כאבי הראש, הכתבה הבאה תעזור לכם ללמוד מהם חוקי לוגריתמים הסבר של פונקציות מעריכיות וגם מהי השיטה העיקרית לחישוב. אז תנשמו עמוק, תוציאו את המחשבון, והסירו דאגה מליבכם.

רוצים ללמוד מתמטיקה עם מורה מנוסה?

כנסו לקישור הבא: בקישור מוצגת רשימה מסודרת של מורים למתמטיקה עם פרופיל מפורט הכולל ניסיון, תגובות והשוואת מחירים.

פונקציות מעריכיות

תחילה, כדי להבין מהו לוגריתמים יש להבין מהי פונקציה מעריכית. פונקציה מעריכית היא אחת הפונקציות השימושיות ביותר בשפה המתמטית, והיא מבטאת תהליכים מעניינים של גידול ודעיכה. בגלל חשיבותה הרבה של הפונקציה המעריכית, היא מהווה אחד מהנושאים החשובים בלימודי המתמטיקה. פונקציה מעריכית היא למעשה פונקציה מסוג a^X, כאשר a הוא בסיס הפונקציה.

פונקציה מעריכית מוכרת היא פונקציה על בסיס המספר e, שהוא קבוע מתמטי השווה לערך 2.71828. הפונקציה הזו מיוחדת מכמה סיבות, אחת מהן היא שנגזרתה שווה לעצמה.

פונקציה לוגריתמית היא פונקציה הפוכה לפונקציה המעריכית, ולמעשה עונה על השאלה: "באיזו חזקה נצטרך להעלות מספר נתון כדי לקבל מספר נתון אחר?", לדוגמה, אם אני רוצה לדעת באיזו חזקה יש להעלות את 10 כדי לקבל את המספר 100, אבצע את הפעולה הבאה במחשבון: log100. התוצאה תהיה 2, שכן 10 בחזקת 2 שווה ל-100.

חוקי לוגריתמים לא צריכים להפחיד אתכם... צריך רק לדעת כמה עקרונות בסיסיים והכל יהיה פשוט יותר

מהם חוקי לוגריתמים?

יש כמה חוקי לוגריתמים ששווה להכיר כדי להקל על פתרון בעיות. החוקים הבאים הם החוקים העיקריים בהם תשתמשו. יש לציין כי האותיות a, m, n מוכרחים להיות מספרים ממשיים וחיוביים כדי שחוקים אלו יהיו בתוקף. להלן החוקים:

ערכים קבועים:

באופן אוטומטי תוכלו לקבוע כי:

  • loga(1)= 0
  • loga(a)=1

פעולות בסיסיות על לוגריתמים:

פעולות של כפל, חילוק, חיסור וחיבור בין לוגריתמים:

  • loga (MN) = loga M + loga N
  • loga (M/N) = loga M - loga N
  • Loga(M)* Logn(D) = Logn(M)*Loga(D)
  • IogaMn = n Ioga M

שינוי בסיס הלוגריתם:

יש לקחת בחשבון כי במחשבונים ברירת המחדל היא לוגריתם על בסיס 10. אבל לפעמים נרצה לחשב אלגוריתם על בסיס שונה מ-10. לדוגמה, מה אם נרצה לדעת באיזו חזקה יש להעלות את 2 כדי לקבל את המספר 4? (התשובה היא כמובן 2 - כי 2 בחזקת 2 שווה ל-4). כדי לעשות את השינוי הזה, יש להשתמש בשינוי בסיס האלגוריתם. יש שתי דרכים לעשות זאת:

  • logb(x) = logc(x) / logc(b)
  • logb(c) = 1 / logc(b)

נגזרת של לוגריתם:

f (x) = logb(x) ⇒ f ' (x) = 1 / ( x ln(b)

אינטגרל של לוגריתם:

∫ logb(x) dx = x ∙ ( logb(x) - 1 / ln(b) ) + C

שיטות לחישוב לוגריתמים

ישנה שיטה עיקרית לחישוב לוגריתמים בתיכון, המתבססת על הגדרת המושג לוג. כאמור, לוג הוא למעשה פעולה הופכית לחזקה רגילה. לכן, במידה ואנו רוצים למצוא מהו (9)log3 נצטרך לשאול את עצמנו, "מה בחזקת שלוש יהיה שווה תשע?" ונגלה כי התשובה היא שתיים. במילים אחרות, נוכל לסמן את התשובה ב-X וליצור משוואה:

log3 (9)= X

נוכל להגיד כי: 3^X = 9

וכן ליצור משוואה מעריכית פשוטה לפיתרון.

בתרגילים מסובכים יותר, יש להשתמש בחוקי הלוגריתמים הנ"ל כדי לפשט את דרך הפיתרון.

לדוגמה: נקח את הלוגריתם

logX (125)= 3

לפי חוק הלוגריתם אנו יכולים להגיד כי:

X^3=125 וכך נוכל לדעת כי X=5.

עם קצת תרגול, תראו כי פתרון לוגריתמים הוא לא כל כך מפחיד ומאיים כמו שהוא נשמע - וכמו כל דבר במתמטיקה, תרגול והבנה הם שם המשחק!