חוקי לוגריתמים

מהם חוקי לוגריתמים?

יש כמה חוקי לוגריתמים ששווה להכיר כדי להקל על פתרון בעיות. החוקים הבאים הם החוקים העיקריים בהם תשתמשו. יש לציין כי האותיות a, m, n מוכרחות להיות מספרים ממשיים וחיוביים כדי שחוקים אלו יהיו בתוקף. להלן החוקים:

ערכים קבועים:

באופן אוטומטי תוכלו לקבוע כי:

• \(\log_a1=0\)
• \(\log_aa=1\)

פעולות בסיסיות על לוגריתמים:

פעולות של כפל, חילוק, חיסור וחיבור בין לוגריתמים:

• \(\log_a(m\cdot n)=\log_am+\log_an\)
• \(\log_a(\frac{m}{n})=\log_am-\log_an\)
• \(\log_a(M)\cdot\log_n(D)=\log_n(M)\cdot\log_a(D)\)
• \(\log_am^n=n\text{ log}_am\)

שינוי בסיס הלוגריתם:

יש לקחת בחשבון כי במחשבונים ברירת המחדל היא לוגריתם על בסיס 10. אבל לפעמים נרצה לחשב אלגוריתם על בסיס שונה מ-10. לדוגמה, מה אם נרצה לדעת באיזו חזקה יש להעלות את 2 כדי לקבל את המספר 4? (התשובה היא כמובן 2 - כי 2 בחזקת 2 שווה ל-4). כדי לעשות את השינוי הזה, יש להשתמש בשינוי בסיס האלגוריתם. יש שתי דרכים לעשות זאת:

• \(\log_b(x)=\frac{\log_c(x)}{\log_c(b)}\)
• \(\log_b(c)=\frac{1}{\log_c(b)}\)

נגזרת של לוגריתם:

\(f(x)=\log_b(x)\) ⇒ \(f^{\prime}(x)=\frac{1}{x\ln(b)}\)

אינטגרל של לוגריתם:

\(∫log_b(x)dx=x\cdot log_b(x)-\frac{1}{ln(b)+C}\)

שיטות לחישוב לוגריתמים

ישנה שיטה עיקרית לחישוב לוגריתמים בתיכון, המתבססת על הגדרת המושג לוג. כאמור, לוג הוא למעשה פעולה הופכית לחזקה רגילה. לכן, במידה ואנו רוצים למצוא מהו \(\log_3(9)\) נצטרך לשאול את עצמנו, "מה בחזקת שלוש יהיה שווה תשע?" ונגלה כי התשובה היא שתיים. במילים אחרות, נוכל לסמן את התשובה ב-\(X\) וליצור משוואה:

\(\log_3(9)=X\)

נוכל להגיד כי: \(3^X=9\)

וכן ליצור משוואה מעריכית פשוטה לפיתרון.

בתרגילים מסובכים יותר, יש להשתמש בחוקי הלוגריתמים הנ"ל כדי לפשט את דרך הפיתרון.

לדוגמה: נקח את הלוגריתם

\(\log_x(125)=3\)

לפי חוק הלוגריתם אנו יכולים להגיד כי:

\(X^3=125 \) וכך נוכל לדעת כי \(X=5\).

עם קצת תרגול, תראו כי פתרון לוגריתמים הוא לא כל כך מפחיד ומאיים כמו שהוא נשמע - וכמו כל דבר במתמטיקה, תרגול והבנה הם שם המשחק!