חוקי חזקות למתמטיקה ולפסיכומטרי- מא' ועד ת'.

חזקה - מהי? איך היא נראית?

חזקה, או יותר נכון "העלאה בחזקה" , היא פעולה מתמטית שאנחנו מבצעים בין שני מספרים: הבסיס, והמעריך. כמו כן, ניתן להסתכל על פעולת החזקה גם כדרך קיצור לפעולת הכפל שאנחנו מכירים עוד מבית הספר היסודי!

רגע, אז איך החזקה בדיוק מקצרת את פעולת הכפל, ואיך הבסיס והמעריך בכלל נראים?

 אם ניקח את המספר 4 ונכפיל אותו בעצמו חמש פעמים, נוכל להציג זאת בתור תרגיל כפל בצורה הבאה: 4*4*4*4*4 .באותה המידה, נוכל להציג חישוב זה  גם בצורת חזקה:  4⁵ . הספרה 4 הפכה לבסיס, והספרה 5 הפכה למעריך.

הבסיס מייצג את המספר שעליו נבצע את פעולת החזקה והמעריך מייצג את מספר הפעמים שהבסיס הוכפל בעצמו.

דוגמאות נוספות:

6*6*6*6: לפנינו המספר 6 שמוכפל בעצמו 4 פעמים. ניתן לכתוב את תרגיל הכפל הזה גם בצורה הבאה:6⁴   

4*4*4*7*4*7*7: נתייחס קודם כל לבסיס  7, ונשים לב שהוא מוכפל בעצמו 3 פעמים (7³) לאחר מכן, נתייחס לבסיס 4 ונראה שהוא מוכפל בעצמו 4 פעמים (4⁴).

מכיוון שיש כפל בין ספרות אלו, נבצע כפל בין כל החזקות שהמרנו ונקבל את התרגיל הבא:7³*4^4.

חושבים שהבנתם איך החזקה נראית? בדקו עצמכם באמצעות התרגילים הבאים:

המירו את את התרגילים  הבאים לפעולות חזקה, וציינו מיהו הבסיס ומיהו המעריך בתרגיל שהמרתם:

א.3*3*3*3=                       הבסיס הוא:     המעריך הוא:

ב.2*2=                              הבסיס הוא:     המעריך הוא:

ג.5³*5*5 (אתגר) =             הבסיס הוא:     המעריך הוא:

ד.2*2*5*4*6*7*7*7 (אתגר) =      

בסיסים ומעריכים יוצאי דופן

מה קורה במצב בו ישנו בסיס כלשהו שמועלה בחזקת 0?  תשובה:התוצאה תמיד תהיה שווה ל1. לדוגמה: 127⁰=1

מה קורה במצב בו ישנו בסיס כלשהו שמועלה בחזקת 1? תשובה: התוצאה תמיד תהיה שווה לבסיס עצמו. לדוגמה: 8¹=8.

מה קורה במצב בו הבסיס הוא 0 ? התוצאה תמיד תהיה שווה לאפס, ללא קשר לגודל המעריך! לדוגמה 0¹⁵⁷⁹=0

מה קורה במצב בו הבסיס הוא 1? התוצאה תמיד תהיה שווה לאחד, ללא קשר לגודל המעריך! לדוגמה: 1⁸⁰=1

חושבים שהבנתם דגשים אלו? בואו נראה:

א.0²⁰=?

ב.1⁰=?

מעריכים זוגיים ואי זוגיים, והשפעתם על הבסיסים

עד עכשיו, כל הדוגמאות עסקו בבסיסים חיוביים (גדולים מאפס). מה קורה במצבים בהם הבסיס הוא שלילי והוא בחזקה? 

בחזקות, כאשר הבסיס הוא חיובי , התוצאה תמיד תהיה חיובית, אך כאשר הבסיס הוא שלילי , התוצאה יכולה להיות חיובית רק אם המעריך הוא זוגי.

נשמע קצת מסובך? בואו נדגים.

²(7-) = בתרגיל זה, ניתן לראות שהבסיס הוא שלילי (מינוס שבע) והוא מועלה בחזקת 2 , כלומר- המעריך הוא זוגי, ולכן התשובה תהיה חיובית. למה?

נפרק לכפל:ניתן להמיר בחזרה את ²(7-) ל 7*-7- וכמו שלמדנו בעבר, כאשר כופלים מינוס במינוס, המינוס מתבטל ונקבל פלוס. לכן, קיבלנו בתרגיל זה את התוצאה 49, תוצאה חיובית.

לעומת זאת, אם ניקח את אותו הבסיס 7-, ונעלה אותו בחזקת 3. נקבל: ³(7-)= 7*-7*-7- . במקרה זה, יש לנו 3 מינוסים בכפל ביניהם, ומכיוון שמדובר במספר אי זוגי של מינוסים, התוצאה תשאר שלילית והמינוס לא ייעלם. קיבלנו בתרגיל זה את התוצאה 343-.

אם כך, מה ההבדל בין החישוב ²(7-) ובין החישוב  7²- ?  לפי ההגיון שזה עתה למדנו, התוצאה בשניהם תהיה חיובית מכיוון שהמעריך זוגי,  לא?

חשוב להבדיל בין שני מצבים של חזקה:

²(7-) במצב זה, נעלה גם את הספרה 7 בחזקה וגם את המינוס בחזקה. נקבל 7*-7-   ->תשובה חיובית

 7²- במצב זה, נעלה רק את הספרה 7 בחזקה, והמינוס יישאר במקומו. נקבל 7-*7    -> תשובה שלילית

חושבים שהבנתם דגשים אלו? פתרו את התרגילים הבאים תוך התייחסות למעריכים זוגיים ואי זוגיים, לבסיסים חיוביים ושליליים ולסוגריים (אם ישנם)

א.²(4-)=?

ב.8²-=?

ג.³(9-)=?

מעריכים שליליים, מה עושים איתם?

אז כן ,דיברנו על מעריכים זוגים, אי זוגיים, על המעריך 0 ועל המעריך 1, אבל מה עם המעריכים השליליים? 

אז אל דאגה, הכלל פשוט ליישום ואנחנו נדגים אותו כעת:

ניתן לשים לב שכשיש לנו בסיס בחזקת מעריך שלילי, ננסה "להפטר"  מהמעריך השלילי על ידי הפיכת הבסיס למספר ההופכי שלו. לאחר שהפכנו את הבסיס למספר ההופכי שלו נוכל להפטר מהמינוס ולהפוך את המעריך לחיובי.

תזכורת:מספר הופכי הוא המספר שאם נכפיל את המספר שלנו בו, נקבל 1. לדוגמה: המספר ההופכי של 5 הוא חמישית. המספר ההופכי של שלוש חמישיות הוא חמישה שלישים.

דוגמאות נוספות:

חוקי חזקות מתקדמים

השלב הבא בנושא החזקות הוא שילוב החזקה עם פעולות הכפל, החילוק, החיבור והחיסור.

ישנם מספר משפטים שנלמד בחלק הזה של המדריך, נסו להבין כל חוק לעומק ובדקו את הבנתכם באמצעות התרגולים המצורפים :)

חוק מספר 1:כפל בין בסיסים זהים  x^a*x^b=x^a+b

חוק זה מתאר מצב בו ישנם שני בסיסים זהים וביניהם פעולת כפל ושכל אחד מהם מועלה בחזקה מסויימת. במקרה שלנו- ניתן לראות את הבסיס X כפול הבסיס X, אשר מועלים בחזקת a וb בהתאמה.

רק לאחר שווידאנו כי ישנו כפל בין בסיסים זהים, נוכל לחבר בין המעריכים שלהם. במקרה שלנו-נקבל את הבסיס X בחזקת (a+b)

דוגמאות נוספות:

5^3x*5^4y=5^3x+4y  ->ניתן לראות את הבסיסים המשותפים (5) ושכל אחד מהבסיסים מועלה בחזקות שונות. מכיוון שיש כפל בין הבסיסים, ניתן לחבר בין המעריכים שלהם(3x ו4y) ולקבל את התוצאה 5^3x+4y.

x¹²*y⁴*x^f=x^12+f*y⁴  -> בדוגמה זו ניתן למצוא גם את הבסיס X וגם את הבסיס Y. ניתן לראות כי ישנם שני בסיסי X ולכן ניתן לחבר בין המעריכים שלהם. הבסיס Y יישאר כמו שהוא ללא שינוי.

חושבים שהבנתם חוק זה? בואו נראה:

א.9⁴*9^5y=?

ב.3^x*3⁵*4⁴*4^y=?

חוק מספר 2:חילוק בין בסיסים זהים:   

ניתן להתייחס לחוק זה כאל החוק המשלים של חוק מספר 1. כאשר יש כפל בין בסיסים זהים נחבר בין מעריכיהם, וכשיש חילוק בין בסיסים זהים מה נעשה? נחסר בין המעריכים!

דוגמאות נוספות:

ניתן לראות את הבסיס 5 במונה השבר בחזקת 8 ואת ה5 שבמכנה השבר בחזקת 3. נחסר את המעריכים ביניהם ונקבל את התוצאה 5⁵.

בדוגמה זו, ניתן לראות שחוק זה מתקיים גם בשברים המורכבים ממספר בסיסים. במקרים מסוג זה, נתייחס לכל גורם בנפרד. נחסר את המעריכים של 9 בנפרד ואת המעריכים של 9 בנפרד ונשמור על כפל ביניהם.

**זוכרים מה עושים עם 8^-5 שקיבלנו בתוצאה?

חושבים שהבנתם חוק זה? בואו נראה:

חוק מספר 3:כפל בסיסים שונים בעלי חזקה זהה:  

זכרו- כשיש לנו מספר גורמים בכפל וכולם מועלים בחזקה זהה תחת סוגריים, ניתן לפתוח את הסוגריים ולהכיל את החזקה על כל אחד מהאיברים.

חשוב לשים לב שחוק זה, בדומה לשאר החוקים הוא דו כיווני.

דוגמאות נוספות:

בדוגמה זו ניתן לשים לב כי ניתן לפרק את המספר 48 למכפלה של 6 כפול 8 תחת סוגריים.

חושבים שהבנתם חוק זה? בואו נראה:

בתרגיל הבא, פתחו את הסוגריים לפי חוק מספר 3

בתרגיל הבא, צרו סוגריים לפי חוק מספר 3

חוק מספר 4:חילוק בסיסים שונים בעלי חזקה זהה:  

חוק זה בעל אותו ההגיון כמו החוק הקודם, רק שכעת מדובר בפעולת חילוק ולא בפעולת כפל. גם כאן ניתן להכיל את החזקה על המונה בנפרד ועל המכנה בנפרד.

דוגמאות נוספות:

שימו לב כיצד קיצרנו את תהליך החישוב בדוגמה זו. במקום לחשב את המונה בנפרד ואת המכנה בנפרד ולהגיע למספרים גבוהים, השתמשנו בחוק מספר 4 וגילינו שתרגיל זה ניתן לפתירה על ידי חישוב 2 בחזקת 2!

חושבים שהבנתם חוק זה? בואו נראה:

חוק מספר 5:חזקה על חזקה

כאשר a מועלה בחזקה x, והביטוי כולו מועלה בחזקה y, נכפיל בין המעריכים x וy ונקבל a בחזקת x*y.

דוגמאות נוספות:

הגעתם עד לכאן? כל הכבוד! בזה הרגע למדתם את כל הבסיס הדרוש כדי להתמודד נושא החזקות בבחינה הפסיכומטרית ובבחינת הבגרות.

הצעדים הבאים כוללים תרגול והטמעה של כל החוקים שנלמדו במדריך זה. ישנם מקורות לימוד רבים המכילים תרגילים אלו, החל מספרי הלימוד הכיתתיים ועד שאלות הפסיכומטרי הרבות המוצעות בחינם על ידי המרכז הארצי לבחינות והערכה.