חוקי חזקות - כל מה שצריך לדעת על חוקי חזקות

חוקי חזקות

חוקי חזקות הינם חוקים שיעזרו לנו בתרגילים מסויימים לבצע פעולות כמו חיבור, חיסור, כפל וחילוק בחזקות.

במאמר זה נזכר תחילה מהי ההגדרה של חזקה ולאחר מכן נעבור במסודר על חוקי החזקות השונים:

  • כפל חזקות
  • חילוק חזקות
  • חזקה של חזקה
  • חזקה על מכפלת מספר איברים (חזקה על סוגריים)
  • חזקה על שבר
  • חזקה שלילית
  • חוקי חזקות של 0 ו-1

בעזרת הסברים, סרטונים, דוגמאות ותרגילים נהפוך ביחד לחזקים בחזקות

בחן את עצמך בחוקי חזקות - כל מה שצריך לדעת על חוקי חזקות!

תרגילים בסיסיים בחוקי חזקות - כל מה שצריך לדעת על חוקי חזקות (3)

צפו במספר דוגמאות לתרגילים בנושא חוקי חזקות - כל מה שצריך לדעת על חוקי חזקות

\(5^3=\)


תרגולים מתקדמים (4)

אחרי הדוגמאות הבסיסיות, הגיע הזמן לתרגילים קצת יותר מאתגרים 😊

\(7^3=\)

\(({1\over3})^2=\)

\(({1\over3})^3=\)


הכיתה התקדמה בחוקי חזקות - כל מה שצריך לדעת על חוקי חזקות ואתם עדיין מאחור?

צוות לימוד נעים כאן עבורכם :)
בואו ללמוד חוקי חזקות - כל מה שצריך לדעת על חוקי חזקות עם מאות סרטונים, שאלות ודוגמאות.


חוקי חזקות 

חוקי חזקות הינם חוקים שיעזרו לנו לבצע פעולות כמו חיבור, חיסור, כפל וחילוק בחזקות.
בתרגילים מסויימים, ללא שימוש נכון בחוקי חזקות, יהיה לנו מאוד קשה להגיע לפתרון ולכן כדאי מאוד להכיר את החוקים האלו.
אל דאגה! לא מדובר בחוקים מסובכים - אם תשקיעו בהבנה שלהם וכמובן בתרגול מספיק, תוכלו להשתמש בהם בקלות.

במאמר זה נזכר תחילה מהי ההגדרה של חזקה ולאחר מכן נעבור במסודר על חוקי החזקות השונים:

הגדרת החזקה

חזקה היא כתיבה מקוצרת של מכפלת האיבר בעצמו מספר פעמים.
המספר המוכפל בעצמו נקרא בסיס החזקה.
מספר הפעמים שבו הוא מוכפל נקרא מעריך החזקה.

\(a^n = a*a*a...\) (n פעמים)


לדוגמא:

 

\(5 * 5 * 5 * 5 = 5^4 \)

 


5 הוא בסיס החזקה, 4 הוא מעריך החזקה.
במקרה זה, המספר 5 מוכפל בעצמו 4 פעמים ולכן הביטוי יקרא 5 ברביעית או 5 בחזקת 4.


כפל חזקות בעלות בסיסים שווים

 

\(a^n * a^m = a^{n+m}\)

 

אם כופלים חזקות בעלי בסיסים שווים, החזקה של התוצאה שווה לסכום החזקות.


דוגמאות:

 

\(5^2*5^3= 5^{2+3} = 5^5\)

\(7^{X+1}*7^{2X+2}= 7^{X+1+2X+2} = 7^{3X+3}\)

\(X^4* X^5= X^{4+5} = X^9\)

חילוק חזקות בעלות בסיסים שווים

 

\(\frac{a^n}{a^m}= a^{n-m}\)

a≠ 0

אם מחלקים חזקות בעלי בסיסים שווים, החזקה של התוצאה שווה להפרש החזקות.

דוגמאות:

 

\(\frac{5^4}{5^3}=5^{4-3}=5^1\)

\(\frac{7^{^{2x}}}{7^x}=7^{2x-x}=7\)

\(\frac{x^7}{x^5}=x^{7-5}=x^2\)

חזקה של חזקה

\((a^n)^m=a^{n\cdot m}\)

כשיש חזקה של חזקה, החזקה המשותפת היא מכפלת החזקות.

דוגמאות:

\((a^2)^3=a^{2\cdot3}=a^6\)

\((a^x)^2=a^{2x}\)

חזקה על מכפלת מספר איברים

\((a*b*c)^n = a^n*b^n*c^n\)


דוגמאות:

\((2\cdot3\cdot5)^2=2^2\cdot3^2\cdot4^2\)

\((x\cdot2\cdot x)^2=x^2\cdot2^2\cdot x^2\)

\((2x\cdot2\cdot3y)^2=x^4\cdot2^2\cdot y^6\)


חזקה על שבר

\((\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}\)

דוגמאות:

\((\frac{5}{3})^2=\frac{5^2}{3^2}\)

\((\frac{x}{y})^3=\frac{x^3}{y^3}\)

חזקה שלילית

\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)

\(\frac{1}{a^{-n}}=a^n\)

בחוק זה משתמשים הרבה פעמים כדי "להיפטר" מהחזקה השלילית.

דוגמאות:

 

\(5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}\)

חוקי חזקות 0

 

\(a^0= 1\)

כל מספר בחזקת 0 שווה 1

\(0^n=0\)

0 בחזקת כל מספר (ששונה מ-0) שווה ל-0

\(0^0=לא~מוגדר\)

0 בחזקת 0 אינו מוגדר

חוקי חזקות 1

 

\(1^n= 1\)

1 בחזקת כל מספר יהיה שווה ל-1.

 

תרגול חוקי חזקות

תרגיל 1

\( 4^2\times4^4= \)

כדי לפתור את התרגיל, נשתמש בחוק כפל חזקות בעלות בסיסים שווים:

\(a^n * a^m = a^{n+m}\)

בעזרת החוק נוכל לחבר את מעריכי החזקה

\(4^2\times4^4=4^{4+2}=4^6\)

תרגיל 2 

\( 7^9\times7= \)

בתרגיל זה יש צורך להיזכר בחוק החזקות ל-1, לפי כל מספר בחזקה של 1 שווה למספר עצמו.
נשתמש באותו החוק, רק הפוך, כך יוצא ש-

\(7=7^1\)

נשתמש שוב בחוק החזקות של כפל חזקות בעלות בסיסים שווים בשביל לקבל:

\(7^9\times7=7^9\times7^1=7^{9+1}=7^{10}\)

תרגיל 3

\( 5^4\times25= \)

כדי לפתור את התרגיל הזה, עלינו לזהות קודם כל ש-\(25\) הוא תוצאה של חזקה, ונצטרך להחזיר אותו לבסיס משותף של 5.

\(\sqrt{25}=5\)
\(25=5^2\)

כעת, נציב זאת בתרגיל הראשוני ונפתור:

\(5^4\times25=5^4\times5^2=5^{4+2}=5^6\)

תרגיל 4

\( \frac{2^4}{2^3}= \)

כאן, נצטרך להשתמש בחוק חזקות אחר, חילוק חזקות בעלות בסיסים שווים

\(\frac{a^n}{a^m}= a^{n-m}\)
 
נשתמש בחוק כדי לפתור את התרגיל:
\(\frac{2^4}{2^3}=2^{4-3}=2^1\)
נוכל להיזכר בחוק הכולל מספרים בחזקה של 1, ולפשט את התוצאה אפילו יותר:
\(2^1=2\)
 

תרגיל 5 

\( \frac{81}{3^2}= \)
 
בשביל לפתור את התרגיל, נצטרך לזהות קודם כל ש-81 הוא חזקה של 3.
\(3\times3\times3\times3=81\)
\(3^4=81\)
 
כעת נוכל להציב בתרגיל:
\(\frac{81}{3^2}=\frac{3^4}{3^2}=\)
 
נוכל להשתמש שוב בחוק החזקות של חילוק חזקות בעלות בסיסים שווים ולפתור:
\(\frac{81}{3^2}=\frac{3^4}{3^2}=3^{4-2}=3^2\)
 

תרגיל 6

\( (3^5)^4= \)
בשביל לפתור את התרגיל, נשתמש בחוק חזקה של חזקה

\((a^n)^m=a^{n\cdot m}\)

נשתמש בחוק עם התרגיל הספציפי ונפתור:
\((3^5)^4=3^{5\times4}=3^{20}\)
 

תרגיל 7

\( (\frac{2}{3})^3 \)
 
כדי לפתור את התרגיל, נשתמש בחוק חזקה על שבר

\((\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}\)

נשתמש בחוק על התרגיל ונפתור:

\((\frac{2}{3})^3=\frac{2^3}{3^3}\)

תרגיל 8

\( (\frac{4^2}{7^4})^2= \)

נשים לב, כי התרגיל הזה הוא שילוב של שני חוקי החזקות שעשינו בהם שימוש בשלבים הקודמים.
נשתמש בידע הזה בשביל לפתור.

\((\frac{4^2}{7^4})^2=\frac{4^{2\times2}}{7^{4\times2}}=\frac{4^4}{7^8}\)

תרגיל 9

\( (4\times7\times3)^2= \)

בשביל לפתור את התרגיל, נשתמש בחוק החזקות חזקה על מכפלת מספר איברים

\((a*b*c)^n = a^n*b^n*c^n\)

נשתמש בחוק בשביל לפתור את התרגיל:

\((4\times7\times3)^2=4^2\times7^2\times3^2\)

תרגיל 10

\( 19^{-2}=\text{?} \)

כדי לפתור את התרגיל, נשתמש בחוק של חזקה שלילית

\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)

 

נשתמש בחוק בשביל לפתור את התרגיל:

\(19^{-2}=\frac{1}{19^2}\)

נוכל להמשיך ולפתור את החזקה

\(\frac{1}{19^2}=\frac{1}{361}\)