חוקי חזקות הינם חוקים שיעזרו לנו בתרגילים מסויימים לבצע פעולות כמו חיבור, חיסור, כפל וחילוק בחזקות.
במאמר זה נזכר תחילה מהי ההגדרה של חזקה ולאחר מכן נעבור במסודר על חוקי החזקות השונים:
בעזרת הסברים, סרטונים, דוגמאות ותרגילים נהפוך ביחד לחזקים בחזקות
חוקי חזקות הינם חוקים שיעזרו לנו לבצע פעולות כמו חיבור, חיסור, כפל וחילוק בחזקות.
בתרגילים מסויימים, ללא שימוש נכון בחוקי חזקות, יהיה לנו מאוד קשה להגיע לפתרון ולכן כדאי מאוד להכיר את החוקים האלו.
אל דאגה! לא מדובר בחוקים מסובכים - אם תשקיעו בהבנה שלהם וכמובן בתרגול מספיק, תוכלו להשתמש בהם בקלות.
במאמר זה נזכר תחילה מהי ההגדרה של חזקה ולאחר מכן נעבור במסודר על חוקי החזקות השונים:
חזקה היא כתיבה מקוצרת של מכפלת האיבר בעצמו מספר פעמים.
המספר המוכפל בעצמו נקרא בסיס החזקה.
מספר הפעמים שבו הוא מוכפל נקרא מעריך החזקה.
\(a^n = a*a*a...\) (n פעמים)
לדוגמא:
5 הוא בסיס החזקה, 4 הוא מעריך החזקה.
במקרה זה, המספר 5 מוכפל בעצמו 4 פעמים ולכן הביטוי יקרא 5 ברביעית או 5 בחזקת 4.
אם כופלים חזקות בעלות בסיסים שווים, החזקה של התוצאה שווה לסכום החזקות.
דוגמאות:
\(5^2*5^3= 5^{2+3} = 5^5\)
\(7^{X+1}*7^{2X+2}= 7^{X+1+2X+2} = 7^{3X+3}\)
\(X^4* X^5= X^{4+5} = X^9\)
a≠ 0
אם מחלקים חזקות בעלי בסיסים שווים, החזקה של התוצאה שווה להפרש החזקות.
דוגמאות:
\(\frac{5^4}{5^3}=5^{4-3}=5^1\)
\(\frac{7^{^{2x}}}{7^x}=7^{2x-x}=7\)
\(\frac{x^7}{x^5}=x^{7-5}=x^2\)
\((a^n)^m=a^{n\cdot m}\)
כשיש חזקה של חזקה, החזקה המשותפת היא מכפלת החזקות.
דוגמאות:
\((a^2)^3=a^{2\cdot3}=a^6\)
\((a^x)^2=a^{2x}\)
\((a*b*c)^n = a^n*b^n*c^n\)
דוגמאות:
\((2\cdot3\cdot5)^2=2^2\cdot3^2\cdot4^2\)
\((x\cdot2\cdot x)^2=x^2\cdot2^2\cdot x^2\)
\((2x\cdot2\cdot3y)^2=4x^2\cdot2^2\cdot 9y^2\)
\((\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}\)
דוגמאות:
\((\frac{5}{3})^2=\frac{5^2}{3^2}\)
\((\frac{x}{y})^3=\frac{x^3}{y^3}\)
\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)
\(\frac{1}{a^{-n}}=a^n\)
בחוק זה משתמשים הרבה פעמים כדי "להיפטר" מהחזקה השלילית.
דוגמאות:
\(5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}\)
כל מספר בחזקת 0 שווה 1
\(0^n=0\)
0 בחזקת כל מספר (ששונה מ-0) שווה ל-0
\(0^0=לא~מוגדר\)
0 בחזקת 0 אינו מוגדר
1 בחזקת כל מספר יהיה שווה ל-1.
\( 4^2\times4^4= \)
כדי לפתור את התרגיל, נשתמש בחוק כפל חזקות בעלות בסיסים שווים:
\(a^n * a^m = a^{n+m}\)
בעזרת החוק נוכל לחבר את מעריכי החזקה
\(4^2\times4^4=4^{4+2}=4^6\)
\( 7^9\times7= \)
בתרגיל זה יש צורך להיזכר בחוק החזקות ל-1, לפי כל מספר בחזקה של 1 שווה למספר עצמו.
נשתמש באותו החוק, רק הפוך, כך יוצא ש-
\(7=7^1\)
נשתמש שוב בחוק החזקות של כפל חזקות בעלות בסיסים שווים בשביל לקבל:
\(7^9\times7=7^9\times7^1=7^{9+1}=7^{10}\)
\( 5^4\times25= \)
כדי לפתור את התרגיל הזה, עלינו לזהות קודם כל ש-\(25\) הוא תוצאה של חזקה, ונצטרך להחזיר אותו לבסיס משותף של 5.
\(\sqrt{25}=5\)
\(25=5^2\)
כעת, נציב זאת בתרגיל הראשוני ונפתור:
\(5^4\times25=5^4\times5^2=5^{4+2}=5^6\)
\( \frac{2^4}{2^3}= \)
כאן, נצטרך להשתמש בחוק חזקות אחר, חילוק חזקות בעלות בסיסים שווים
\((a^n)^m=a^{n\cdot m}\)
\((\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}\)
נשתמש בחוק על התרגיל ונפתור:
\((\frac{2}{3})^3=\frac{2^3}{3^3}\)
\( (\frac{4^2}{7^4})^2= \)
נשים לב, כי התרגיל הזה הוא שילוב של שני חוקי החזקות שעשינו בהם שימוש בשלבים הקודמים.
נשתמש בידע הזה בשביל לפתור.
\((\frac{4^2}{7^4})^2=\frac{4^{2\times2}}{7^{4\times2}}=\frac{4^4}{7^8}\)
\( (4\times7\times3)^2= \)
בשביל לפתור את התרגיל, נשתמש בחוק החזקות חזקה על מכפלת מספר איברים
\((a*b*c)^n = a^n*b^n*c^n\)
נשתמש בחוק בשביל לפתור את התרגיל:
\((4\times7\times3)^2=4^2\times7^2\times3^2\)
\( 19^{-2}=\text{?} \)
כדי לפתור את התרגיל, נשתמש בחוק של חזקה שלילית
\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)
נשתמש בחוק בשביל לפתור את התרגיל:
\(19^{-2}=\frac{1}{19^2}\)
נוכל להמשיך ולפתור את החזקה
\(\frac{1}{19^2}=\frac{1}{361}\)