חוקי חזקות

חוקי חזקות הינם חוקים שיעזרו לנו לבצע פעולות כמו חיבור, חיסור, כפל וחילוק בחזקות.
בתרגילים מסויימים, ללא שימוש נכון בחוקי חזקות, יהיה לנו מאוד קשה להגיע לפתרון ולכן כדאי מאוד להכיר את החוקים האלו.
אל דאגה! לא מדובר בחוקים מסובכים - אם תשקיעו בהבנה שלהם וכמובן בתרגול מספיק, תוכלו להשתמש בהם בקלות.

במאמר זה נזכר תחילה מהי ההגדרה של חזקה ולאחר מכן נעבור במסודר על חוקי החזקות השונים:

  • כפל חזקות
  • חילוק חזקות
  • חזקה של חזקה
  • חזקה על מכפלת מספר איברים (חזקה על סוגריים)
  • חזקה על שבר
  • חזקה שלילית
  • חוקי חזקות של 0 ו-1

הגדרת החזקה

חזקה היא כתיבה מקוצרת של מכפלת האיבר בעצמו מספר פעמים.
המספר המוכפל בעצמו נקרא בסיס החזקה.
מספר הפעמים שבו הוא מוכפל נקרא מעריך החזקה.

an = a*a*a... (n פעמים)


לדוגמא:

 

5 * 5 * 5 * 5 = 54 

 


5 הוא בסיס החזקה, 4 הוא מעריך החזקה.
במקרה זה, המספר 5 מוכפל בעצמו 4 פעמים ולכן הביטוי יקרא 5 ברביעית או 5 בחזקת 4.


כפל חזקות בעלות בסיסים שווים

 

an * am = an+m

 

אם כופלים חזקות בעלי בסיסים שווים, החזקה של התוצאה שווה לסכום החזקות.


דוגמאות:

 

52*53= 52+3 = 55

7X+1*72X+2= 7X+1+2X+2 = 73X+3

X4* X5= X4+5 = X9

חילוק חזקות בעלות בסיסים שווים

 

an/am= an-m

a≠ 0

אם מחלקים חזקות בעלי בסיסים שווים, החזקה של התוצאה שווה להפרש החזקות.

דוגמאות:

 

54/ 53= 54-3 = 51

72X/7X= 72X-X = 7X

X7/ X5= X7-5 = X2

חזקה של חזקה

(an)m= an*m

כשיש חזקה של חזקה, החזקה המשותפת היא מכפלת החזקות.

דוגמאות:

(a2)3= a2*3 = a6

(aX)2= a2X 

חזקה על מכפלת מספר איברים

(a*b*c)n = an*bn*cn


דוגמאות:

(2*3*5)2 = 22* 32* 42

(x*2*x)2 = x2* 22* x2

(x2*2*y3)2 = x4* 22* y6


חזקה על שבר

(a/b)n= an/bn

דוגמאות:

(5/3)2= 52/32

(X/Y)3= X3/Y3

חזקה שלילית

a-n= 1/an

1/a-n=an 

בחוק זה משתמשים הרבה פעמים כדי "להיפטר" מהחזקה השלילית.

דוגמאות:

5-2= 1/52 = 1/25

1/2-3=23 = 8

חוקי חזקות 0

 

a0= 1

כל מספר בחזקת 0 שווה 1

0n=0

0 בחזקת כל מספר (ששונה מ-0) שווה ל-0

00=לא מוגדר

0 בחזקת 0 אינו מוגדר

חוקי חזקות 1

 

1n= 1

1 בחזקת כל מספר יהיה שווה ל-1.