זווית מרכזית במעגל

זווית מרכזית במעגל

אנו כאן כדי להגדיר לכם מהי זווית מרכזית במעגל ולתת לכם טיפים לזכור את הגדרתה ותכונותיה בצורה הטובה וההגיונית ביותר.
לפני שנדבר על זווית מרכזית במעגל, נסתכל לרגע על שמה – זווית מרכזית.

כבר מעצם שמה, אנו יכולים לזהות שיש לה קשר כלשהו למרכז המעגל.
נפלא, כעת נעבור להגדרה של זווית מרכזית והיא תהיה לנו הגיונית הרבה יותר.

מהי זווית מרכזית במעגל?
זווית מרכזית במעגל היא זווית שקודקודה הוא מרכז המעגל ושוקיה הם רדיוסי המעגל
לכן, קצוותיה נמצאים על גבי המעגל.
אם נחבר את כל הזוויות המרכזיות באותו מעגל – כלומר נשלים סיבוב שלם – נקבל 360.

בואו ונראה זאת באיור:

לפנינו מעגל.
נסמן את מרכז המעגל באות A.
אמרנו, שזווית מרכזית היא זווית שקודקודה הוא מרכז המעגל
ושוקיה הם רדיוסי המעגל.
לכן, אם נעביר שני רדיוסים כלשהם, תיווצר לנו זווית.
הזווית שתיווצר, תהיה זווית מרכזית במעגל.

כעת, לאחר שאנו יודעים מהי זווית מרכזית במעגל ונוכל לזהות אותה בקלות,
כדאי שנכיר כמה משפטים ותכונות חשובות של זווית מרכזית במעגל.
שנתחיל?

זוויות מרכזיות שוות

מתי נוכל לקבוע ששתי זוויות מרכזיות במעגל הן שוות?
בשני מקרים:

•     אם הקשתות עליהן הזוויות נשענות שוות, אז נוכל לקבוע שהזוויות המרכזיות שוות.

בואו ונראה זאת באיור:

אם \(BC=DE\)
אז \(∢A1=∢A2\)

אם הקשתות מול הזוויות המרכזיות שוות, אז הזוויות המרכזיות שוות.
באותו אופן, המשפט פועל הפוך.
אם הזוויות המרכזיות שוות, הקשתות שמולן שוות גם הן.

•     אם המיתרים הנמצאים מול הזוויות המרכזיות, שווים, אז נוכל לקבוע שהזוויות המרכזיות שוות.

בואו ונראה זאת באיור:

אם \(BC=DE\)
אז \(∢A1=∢A2\)

אם המיתרים מול הזוויות המרכזיות שוות, אז הזוויות המרכזיות שוות.
באותו אופן, המשפט פועל הפוך.
אם הזוויות המרכזיות שוות, המיתרים שמולם שווים גם הם.

כעת נלמד את הקשר בין זווית מרכזית במעגל לזווית היקפית במעגל.
נזכיר, שזווית היקפית במעגל היא זווית שקודקודה נמצא על גבי המעגל ושוקיה הם מיתרים במעגל.
כמו כאן:

הקשר בין זווית מרכזית לזווית היקפית במעגל:

במעגל, הזווית המרכזית תהיה גדולה פי 2 מהזווית ההיקפית הנשענת על אותה קשת.
או לחלופין, הזווית ההיקפית תהיה שווה לחצי מהזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת.

כלומר-
אם במעגל נזהה זווית מרכזית וזווית היקפית שנשענות על אותה קשת, נוכל להגיד שמאחר והן נשענות על אותה קשת, הזווית ההיקפית תהיה שווה לחצי מהזווית המרכזית או לחלופין הזווית המרכזית תהיה גדולה פי 2 מהזווית ההיקפית.
בואו ונראה זאת באיור:

לפנינו מעגל.

נוכל לזהות שזווית \(A\) הינה זווית מרכזית – יוצאת מקודקוד המעגל ושוקיה רדיוסים ואילו זווית \(B\) היא זווית היקפית- קודקודה נמצא על גבי המעגל ושוקיה מיתרים.
עוד נוכל לראות ששתי הזוויות הללו נשענות – נמצאות על אותה קשת - \(CD\)
לכן, נוכל להסיק שהזווית ההיקפית \(B\) שווה לחצי מהזווית המרכזית \(A\) או לחלופין, זווית \(A\) שווה פי 2 מזווית \(B\).

\(∢A=α\)
\(∢B=1/2 α\)

או 

\(∢A=2α\)
\(∢B=α\)

נפלא! כעת הבנו את הקשר בין זווית היקפית לזווית מרכזית וכדאי שנכיר עוד ייצוגים שונים של זוויות היקפיות ומרכזיות שנמצאות על אותה הקשת:

 בואו ונראה דוגמה מספרית: 

אם במעגל נתון לנו שהזווית ההיקפית בעלת 5 מעלות ואנו נשאלים מה ערכה של הזווית המרכזית המסומנת,
נוכל לראות שהן נשענות על אותה קשת ולכן לקבוע שהזווית המרכזית גדולה פי 2 מהזווית ההיקפית הנשענת איתה על אותה קשת.
מכך נובע, 
שהזווית המרכזית המסומנת שווה ל-10.
\(5*2=10\)