זווית היקפית במעגל

זווית היקפית במעגל

אנו כאן כדי להגדיר לכם מהי זווית היקפית במעגל ולתת לכם טיפים לזכור את הגדרתה ותכונותיה בצורה הטובה וההגיונית ביותר.
לפני שנדבר על זווית היקפית במעגל, נסתכל לרגע על שמה – זווית היקפית.
שמה, מרמז לנו שיש לה קשר להיקף המעגל ואכן כך הדבר.

כעת, נוכל לעבור להגדרה של זווית היקפית והיא תיצרב במוחנו בזכות ההיגיון.
מהי זווית היקפית במעגל?
זווית היקפית במעגל היא זווית שקודקודה נמצא על גבי המעגל – על היקף המעגל ושוקיה הם מיתרים במעגל.
בואו ונראה זאת באיור:

לפנינו מעגל.
אמרנו, שזווית היקפית היא זווית שקודקודה נמצא על גבי המעגל, כלומר על היקף המעגל
וששוקיה הם מיתרים במעגל.
לכן, אם נעביר שני מיתרים כלשהם במעגל, שיפגשו באותה נקודה על גבי היקף המעגל – על גבי המעגל עצמו, תיווצר לנו זווית.
הזווית שתיווצר, תהיה זווית היקפית במעגל.
נסמן A נקודה כלשהי על גבי המעגל ושני מיתרים בתוך המעגל הנפגשים בנקודה A.

כעת, לאחר שאנו יודעים מהי זווית היקפית במעגל ונוכל לזהות אותה בקלות,
כדאי שנכיר כמה משפטים ותכונות חשובות של זווית היקפית במעגל.
שנתחיל?
זוויות היקפיות שוות
מתי נוכל לקבוע שזוויות היקפיות במעגל הן שוות?

    זוויות היקפיות הנשענות על אותו מיתר מאותו צד הן שוות זו לזו.

כלומר, אם ישנו איזשהו מיתר שנשענות עליו זוויות היקפיות מאותו צד, הן יהיו שוות.

בואו ונראה זאת באיור:

לפנינו מעגל ומיתר AB.
נוכל לראות שזוויות 1,2,3 
נשענות על המיתר AB מאותו צד ולכן שוות.

דוגמה לזוויות שנשענות על אותו מיתר לא מאותו צד:

נוכל לראות שזוויות 1 ו-2 אמנם נשענות על אותו מיתר אך לא מאותו צד ולכן לא נוכל לקבוע שהן שוות.

    זוויות היקפיות שוות נמצאות מול מיתרים שווים וקשתות שוות.

כלומר, אם נתון לנו שיש זוויות היקפיות שוות, נוכל לקבוע שהמיתרים והקשתות עליהן הן נשענות, שווים גם הם.
בואו ונראה זאת באיור:

לפנינו מעגל
אם נתון ש:
\(∢1=∢2\)
אז נוכל לקבוע ש:
AB=DC 
וגם
AB=DC  

    מול קשתות שוות במעגל, נמצאות זוויות היקפיות שוות.

כלומר, אם נתון לנו שיש קשתות שוות במעגל, נוכל לקבוע שהזוויות ההיקפיות שנמצאות מולן, שוות.
בואו ונראה זאת באיור:

לפנינו מעגל.
אם נתון ש:
AB=CD 
אז
\(∢1=∢2\)

כעת נלמד את הקשר בין זווית היקפית במעגל לזווית מרכזית במעגל.
נזכיר, שזווית מרכזית במעגל היא זווית שקודקודה נמצא במרכז המעגל ושוקיה הם רדיוסים במעגל.
כמו כאן:

הקשר בין זווית היקפית לזווית מרכזית במעגל

במעגל, הזווית ההיקפית תהיה חצי מהזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת.

כלומר-
אם במעגל נזהה זווית מרכזית וזווית היקפית שנשענות על אותה קשת, נוכל להגיד שמאחר והן נשענות על אותה קשת, הזווית ההיקפית תהיה שווה לחצי מהזווית המרכזית.
בואו ונראה זאת באיור:

הקשר בין קוטר לזווית היקפית 

נזכיר, קוטר הוא הרדיוס הגדול ביותר במעגל – קו המחבר בין 2 נקודות על גבי המעגל ועובר במרכז המעגל.
מה הקשר בינו לבין זווית היקפית? טוב ששאלתם.
זווית היקפית אשר נשענת על קוטר שווה ל-90 מעלות.
באותו אופן נוכל להגיד שאם זווית היקפית כלשהי במעגל שווה ל- 90 מעלות, היא נשענת על קוטר.
בואו ונראה זאת באיור:

אם AB קוטר 
אז
∢ACB=90
באותו אופן, אם
∢ACB=90
אז 
AB הוא קוטר.

שתי זוויות היקפיות במעגל הנשענות על אותו מיתר מצדדים שונים

זוכרים שדיברנו על כך שזוויות היקפיות הנשענות על אותו מיתר מצד אחד הן שוות?
כעת, אנו מדברים על זוויות היקפיות הנשענות על אותו מיתר אך משני צידיו השונים.
שתי זוויות היקפיות, הנשענות על אותו מיתר משני צידיו, שוות יחד ל-180 מעלות.
בואו ונראה זאת באיור:

לפנינו מעגל ומיתר AB
הזוויות ACD ו  ADB  
הן זוויות היקפיות הנשענות על אותו מיתר משני צידיו השונים ולכן סכומם יהיה 180.