זוויות קודקודיות

זוויות קודקודיות

זוויות קודקודיות הן זוויות שהיווצרותן מתאפשרת כאשר שני ישרים מצטלבים ביניהם, והן נוצרות בנקודת ההצטלבות, האחת מול השנייה. הזוויות הקודקודיות שוות זו לזו בגודלן.

השרטוט הבא מדגים שני זוגות של זוויות מתאימות, כאשר זוג אחד סומן באדום, והזוג השני סומן בכחול.

 

זוויות קודקודיות 

בחן את עצמך בזוויות קודקודיות !

תרגילים בסיסיים בזוויות קודקודיות (3)

צפו במספר דוגמאות לתרגילים בנושא זוויות קודקודיות


תרגולים מתקדמים (8)

אחרי הדוגמאות הבסיסיות, הגיע הזמן לתרגילים קצת יותר מאתגרים 😊


הכיתה התקדמה בזוויות קודקודיות ואתם עדיין מאחור?

צוות לימוד נעים כאן עבורכם :)
בואו ללמוד זוויות קודקודיות עם מאות סרטונים, שאלות ודוגמאות.


באופן כללי, זוויות מהוות חלק בלתי נפרד ממסכת פתרונן של בעיות הנדסיות רבות. הזוויות הללו נוטות להיווצר בין ישרים שונים, חלקם מקבילים וחלקם האחר מצטלבים. היכולת להבדיל בין הסוגים השונים של הזוויות עשויה להקל עלינו בפתרון רוב הבעיות ההנדסיות בכל שלבי הלימוד. הפרק שלפנינו יתמקד בעיקר בזוויות הקודקודיות. 

מהן זוויות קודקודיות? 

טרם נצלול למעמקים של נושא הזוויות הקודקודיות, נתעכב תחילה על המידע הבסיסי שיאפשר לנו להבין כיצד סוג זה של זוויות נוצר מלכתחילה. על מנת להקל על ההבנה, נשרטט שני ישרים, אותם חותך ישר שלישי, כמתואר בשרטוט: 

ישרים מקבילים | לימוד נעים

מה למעשה אנו רואים בשרטוט? הישר החותך C מצטלב עם כל אחד מהישרים A ו- B (כאשר במקרה שלנו הישרים A ו- B מקבילים זה לזה, אך לא מדובר בתנאי הכרחי לצורך יצירה של זוויות קודקודיות). 

וכעת, לאחר הסבר ראשוני והדגמה באמצעות אמצעי גרפי, אנו מוכנים לעבור להגדרה היותר רשמית של זוויות קודקודיות, שתאפשר לנו לזהותן באופן קל יותר: 

זוויות קודקודיות הן זוויות שהיווצרותן מתאפשרת כאשר שני ישרים מצטלבים ביניהם, והן נוצרות בנקודת ההצטלבות, האחת מול השנייה. הזוויות הקודקודיות שוות זו לזו בגודלן. 

בשרטוט הבא ניתן לראות שתי דוגמאות לזוויות קודקודיות, כאשר הדוגמה הראשונה (העליונה) סומנה בצבע אדום, ואילו הדוגמה השנייה (התחתונה)  סומנה בצבע כחול. 

 

זוויות קודקודיות

זוויות נוספות בתפריט

הזוויות הקודקודיות הן לא הזוויות היחידות הקיימות בתפריט. הקונסטלציה המתוארת במבוא מזמנת יצירה של מספר סוגים של זוויות, אותם נציין בקצרה: 

 

זוויות מתאימות

זוויות מתאימות ניתן להגדיר כזוג זוויות אותן ניתן למצוא באותו האספקט של ישר שנועד לחתוך שני ישרים המקבילים זה לזה. בנוסף לכך, הזוויות הללו ממוקמות באותו המפלס יחסית לישר המקביל אליו הן משתייכות. הזוויות המתאימות שוות זו לזו בגודלן.

על מנת לקבל הסבר מורחב יותר, ניתן לעיין במאמר שמוקדש לנושא "זוויות מתאימות". 

זוויות מתאימות

זוויות מתחלפות

זוויות מתחלפות ניתן להגדיר כזוג זוויות אותן ניתן למצוא באספקט הנגדי של ישר שנועד לחתוך שני ישרים המקבילים זה לזה. בנוסף לכך, הזוויות הללו ממוקמות במפלס ההפוך יחסית לישר המקביל אליו הן משתייכות. הזוויות המתחלפות שוות זו לזו בגודלן.

על מנת לקבל הסבר מורחב יותר, ניתן לעיין במאמר שמוקדש לנושא "זוויות מתחלפות". 

זוויות מתחלפות

זוויות חד צדדיות

זוויות חד צדדיות ניתן להגדיר כזוג זוויות אותן ניתן למצוא באותו האספקט של ישר שנועד לחתוך שני ישרים המקבילים זה לזה. בנוסף לכך, הזוויות הללו ממוקמות במפלס ההפוך יחסית לישר המקביל אליו הן משתייכות. סכום של זוג זוויות חד צדדיות שווה למאה ושמונים מעלות. 

על מנת לקבל הסבר מורחב יותר, ניתן לעיין במאמר שמוקדש לנושא "זוויות חד צדדיות". 

זוויות חד צדדיות

דוגמאות ותרגול זוויות קודקודיות

תרגיל מס' 1:

זוויות קודקודיות - תרגיל 01 - תרשים 01

זוויות קודקודיות - תרגיל 01 - תרשים 02

זוויות קודקודיות - תרגיל 01 - תרשים 03

יש לקבוע בכל תרשים גרפי האם הזוויות המופיעות בתרשים הן אכן זוויות קודקודיות. כל תשובה צריכה להיות מלווה בנימוק ובמידה וניתן, יש לציין מהו סוג הזוויות המופיע בתרשים. 

פתרון: 

תרשים מס' 1:

בתרשים הנוכחי אכן מדובר בזוויות קודקודיות. הסיבה לכך היא שקיים מענה על הקריטריון להיווצרות של זוויות קודקודיות, כלומר, שני ישרים מצטלבים ביניהם, והזוויות הקודקודיות  נוצרות בנקודת ההצטלבות, האחת מול השנייה. 

תרשים מס' 2:

בתרשים הנוכחי לא מדובר בזוויות קודקודיות, אלא בזוויות מתאימות. הסיבה לכך היא שבתרשים הנוכחי מופיע זוג זוויות אותן ניתן למצוא באותו האספקט של ישר שנועד לחתוך שני ישרים המקבילים זה לזה. בנוסף לכך, הזוויות הללו ממוקמות באותו המפלס יחסית לישר המקביל אליו הן משתייכות. 

תרשים מס' 3:

בתרשים הנוכחי לא מדובר בזוויות קודקודיות, אלא בזוויות חד צדדיות. הסיבה לכך היא שבתרשים הנוכחי מופיע זוג זוויות אותן ניתן למצוא באותו האספקט של ישר שנועד לחתוך שני ישרים המקבילים זה לזה. בנוסף לכך, הזוויות הללו ממוקמות במפלס ההפוך יחסית לישר המקביל אליו הן משתייכות.

לכן:

תרשים מס' 1: זוויות קודקודיות

תרשים מס' 2: זוויות מתאימות

תרשים מס' 3: זוויות חד צדדיות

תרגיל מס' 2: 

זוויות קודקודיות - תרגיל 02

נתונה המקבילית ABCD, כמתואר בשרטוט.

נקודה K היא נקודת המפגש של האלכסונים במקבילית ABCD. 

הזווית AKD שווה ל- 30 מעלות. 

הזווית KBC שווה ל- 50 מעלות. 

מתוך הנתונים הקיימים, יש לחשב את הזווית BCK. 

פתרון:

ראשית כל, על מנת להקל על הפתרון, נסמן את הזוויות באופן הבא:

זווית AKD תסומן ב- K1 (שווה ל- 30 מעלות)

זווית BKC תסומן ב- K2

זווית KBC תסומן ב- B1 (שווה ל- 50 מעלות)

זווית BCK תסומן ב- C1 (הזווית המבוקשת)

 

נתמקד תחילה במשולש BCK כי הזווית C1 נמצאת בתוכו. 

נתבסס על העובדה, כי סכום הזווית בכל משולש הוא 180 מעלות. זווית B1 שווה כאמור ל-50 מעלות. כלומר, אם נמצא את ערך הזווית K2, נוכל לחשב בקלות את ערך הזווית C1. 

כפי שידוע לנו מהנתונים ומהתרשים, נקודה K משמשת כנקודת המפגש של האלכסונים AC ו- BD במקבילית ABCD. ניתן לראות, אם כך, כי נקודת הצטלבות זו יוצרת את הזוויות הקודקודיות K1 ו- K2, בהתאם להגדרה. זוויות קודקודיות שוות זו לזו, ולכן 30=K1=K2 מעלות.

כעת נוכל לחזור למשולש BCK ולחשב את הזווית C1 :

C1= 180- B1- K2= 180-50-30= 100.

כלומר, הזווית C1 שהיא למעשה הזווית המבוקשת BCK שווה ל- 100 מעלות. 

לכן: 

זווית BCK שווה ל- 100 מעלות.

 

תרגיל מס' 3: 

זוויות קודקודיות - תרגיל 03

נתון טרפז שווה שוקיים ABCD, כמתואר בתרשים.

נקודה M היא נקודת מפגש האלכסונים בטרפז ABCD. 

מתקיים: MA=MB

הזווית DMC שווה ל= 120 מעלות. 

מתוך הנתונים הקיימים, יש לחשב את הזוויות של המשולש ABM.

פתרון: 

ראשית כל, על מנת להקל על הפתרון, נסמן את הזוויות באופן הבא:

זווית DMC  תסומן ב- M1 (שווה ל- 120 מעלות)

זווית AMB  תסומן ב- M2 (הזווית המבוקשת)

זווית MAB תסומן ב- A1 (הזווית המבוקשת)

זווית MBA  תסומן ב- B1 (הזווית המבוקשת)

 

נתמקד במשולש ABM כי אנו נדרשים למצוא את הזוויות שלו. 

נתחיל עם הזווית M2. 

כפי שידוע לנו מהנתונים ומהתרשים, נקודה M משמשת כנקודת המפגש של האלכסונים AC ו- BD בטרפז ABCD. ניתן לראות, אם כך, כי נקודת הצטלבות זו יוצרת את הזוויות הקודקודיות M1 ו- M2, בהתאם להגדרה. זוויות קודקודיות שוות זו לזו, ולכן 120=M1=M2 מעלות.

כעת נעבור לנתון הנוסף הקיים בידינו MA=MB. משמעות הנתון הנ"ל היא שהמשולש ABM הוא משולש שווה שוקיים. ניעזר בעובדה, כי במשולש שווה שוקיים שתי זוויות הבסיס שוות זו לזו בגודלן.

כלומר, מתקיים A1=B1. 

על מנת למצוא אותן, ניזכר כי סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות והזווית M2 כבר ידועה לנו. 

לכן נקבל:

A1=B1= (180-120)/2= 60/2=30

 

לכן: 

זווית AMB  (זווית M2) שווה ל- 120 מעלות.

זווית MAB (זווית A1) שווה ל- 30 מעלות.

זווית MBA (זווית B1 ) שווה ל- 30 מעלות.