התנאי לדמיון בין שני משולשים

בכדי להראות דמיון בין משולשים, אין צורך להראות בכל פעם מחדש את יחס הדמיון בין כל שלושת זוגות הצלעות, ואת השוויון בין כל שתי זוויות מתאימות. זו עבודה רבה ומיותרת.

ישנם שלושה משפטים שבעזרתם נראה דמיון משולשים:

משפט דמיון 1 – זוית זוית (ז.ז)

הגדרה: אם שתי זוויות שוות בהתאמה בין שני משולשים, אז המשולשים דומים.

דוגמא 1:

נתונים שני המשולשים:

\(Δ ABC\)
\(Δ DEF\)

כמו כן נתון כי 

\(∢A=∢D\)
\(∢B=∢D\)

הוכיחו כי שני המשולשים דומים.

ההוכחה היא מידית. ניעזר במשפט שלמדנו זה עתה. נשים לב כי נתונות לנו שתי זויות השוות בהתאמה בין שני המשולשים. נרשום כך:

\(∢A=∢D\) (זוית)
\(∢B=∢E\) (זוית)

מכך נובע: 
\(Δ ABC\) ~ \(Δ DEF\) (לפי משפט דמיון זוית. זוית). 
מש״ל.

נשים לב כי עבור שני משולשים, אם יש שוויון בין שני זוגות זויות מתאימות, בהכרח יש שוויון בין זוג הזויות השלישי מאחר וסכום הזויות במשולש הוא תמיד 180°. זהו למעשה ההסבר למשפט הדמיון הראשון: זוית, זוית.

משפט דמיון 2 – צלע זוית צלע (צ.ז.צ)

הגדרה: צלע-זווית-צלע (צ.ז.צ): אם היחס בין שתי זוגות של צלעות הוא שווה, וגם והזוויות הכלואות ביניהן שוות זו לזו, אז המשולשים דומים.

דוגמא 2: 
נתונים שני המשולשים
\(Δ ABC\)
\(Δ DEF\)

כמו כן נתון:
\(BC = 4\)
\(CA = 6\)
\(EF = 2\)
\(FD = 3\)
\(∢F=∢C\)

הוכיחו כי המשולשים דומים וחשבו את יחס הדמיון.

הוכחה:
ניעזר במשפט הדמיון השני שלמדנו זה עתה: צלע, זוית, צלע.

נשים לב ליחס בין אורכי הצלעות:
\(\frac{FD}{CA}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \)

\(\frac{EF}{BC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)

כלומר קיבלנו כי היחס בין שתי זוגות של צלעות הוא שווה.
כמו כן נתון
\(∢F=∢C\)

כלומר הזוויות הכלואות בין שני זוגות הצלעות שוות זו לזו.
מכאן נוכל להסיק כי

\(Δ ABC\) ~ \(Δ DEF\)  (לפי משפט דמיון צלע, זוית, צלע). 

ויחס הדמיון הוא 1:2

מש״ל.

משפט דמיון 3 – צלע צלע צלע

הגדרה: צלע-צלע-צלע (צ.צ.צ): אם עבור שני משולשים, היחס בין כל שלושת הצלעות במשולש אחד לשלושת הזוגות במשולש השני הוא שווה (יחס הדמיון) אז המשולשים דומים.

נתונים שני המשולשים:
\(Δ ABC\)
\(Δ DEF\)

כמו כן נתון:
\(DE = 2\)
\(EF = 3 \)
\(FD = 5\)
\(AB = 3\)
\(BC = 4.5\)
\(AC = 7.5\)

כל הנתונים מופיעים בשרטוט:

הוכיחו כי שני המשולשים דומים.

הוכחה: ניעזר במשפט שלמדנו זה עתה משפט דמיון צלע, צלע, צלע. 

נשים לב כי מתקיים

\(\frac{FD}{CA}=\frac{5}{7.5}=\frac{2}{3} \)

\(\frac{DE}{AB}=\frac{2}{3} \)

\( \frac{EF}{BC}=\frac{3}{4.5}=\frac{2}{3}\)

כלומר קיבלנו כי היחס בין כל שלושת הצלעות במשולש אחד לשלושת הזוגות במשולש השני הוא שווה.

לכן נוכל להסיק כי  \(Δ ABC\) ~ \( Δ DEF\)  (לפי משפט דמיון צלע, צלע, צלע). 

יחס הדמיון הוא היחס שקיבלנו כלומר 2:3

מש״ל