הקשר בין הפונקציה לנגזרת - לרמת תיכון

הסוד להצלחה בכל השאלות הקשורות לחדו"א (חקירת פונקציות) הוא להבין את הקשר בין פונקציה לנגזרת. כאשר תלמיד מבין לעומק את הקשר החשוב הזה, יוכל לפתור כל שאלה בנושא זה ללא קושי. על מנת להבין קשר זה, ראשית נצטרך להבין לעומק מהי פונקציה, ולאחר מכן מהי הנגזרת. כאשר נדע כל אחד מהמושגים הללו בנפרד, נוכל להבין בצורה עמוקה ונכונה יותר את הקשר החשוב ביניהם. אז בואו נתחיל.

מהי פונקציה

בשביל להסביר מהי פונקציה, נעשה היכרות זריזה עם מערכת הצירים.

מרחב מערכת הצירים זהו איזשהו עולם דו מימדי, המורכב מציר אופקי- ציר הX, וציר אנכי-ציר הY. כאשר "דוקרים" נקודה על מערכת הצירים, היא בעצם מורכבת ממספר מציר הX, ומספר מציר הY. 

לדוגמא(1):

הנקודה (2,3) היא נקודה במרחב של מערכת הצירים, בה X=2  ו Y=3.

אם נקח הרבה מאוד נקודות במרחב, כל כך הרבה,עד כדי כך שהם יהיו כל כך צפופות אחת לשניה שהן ייראו כמו קו אחיד- נקבל את הפונקציה. כלומר פונקציה זה איזשהו אוסף של נקודות במרחב מערכת הצירים שלנו. 

אבל אני אוהב לחשוב על פונקציה בצורה קצת שונה, וכך הייתי רוצה שאתם תחשבו עליה: הדרך הטובה ביותר לחשוב על פונקציה היא על מאין מכשיר, שכשאנחנו מכניסים אליו איזשהו מספר מציר הX, והוא יודע להחזיר לי מי הבן זוג שלו מציר הY. כלומר, אם נקח את הנקודה מהדוגמה הקודמת, (2,3), ונכניס לפונקציה את X=2, היא תדע להחזיר לנו Y=3.

המכשיר הזה, הפונקציה, יכול להופיע ב2 צורות שונות; צורה אחת: משוואה. צורה שנייה:גרף.

לדוגמא (2):

נקח את הפונקציה הבאה בצורת משוואה

אם נכניס למכשיר הזה את X=-2 למשל, מהצבה פשוטה נוכל לקבל ש

כלומר מצאנו את הבן זוג של -2 מציר הY, ולכן אנחנו יודעים שקיימת הנקודה (-2,4).

*נוכל לראות שהמכשיר הזה גם עובד בצורה ההפוכה, אפשר להכניס לו מספר מציר הY ולקבל את בן זוגו מציר הX. נכניס Y=4 ונקבל:

קיבלנו שבן הזוג של 4 מציר הX הוא X=-2, ולכן גם עכשיו קיבלנו את הנקודה (-2,4).

נקח את אותה הפונקציה, בצורת גרף

פה המכשיר שלנו עובד בצורה ויזואלית. אפשר ממש לראות בעיניים שכאשר X=-2, המכשיר מחזיר שבן זוגו הוא Y=4. ואפשר להסתכל על כך גם פה בצורה ההפוכה, כאשר Y=4 המכשיר מחזיר לנו שX=-2.

אפשר גם לראות זאת במשוואה של הפונקציה. נציב בפונקציה שלנו Y=8:

כלומר קיבלנו 2 נקודות: (0,8) (-4,8)

אז לסיכום ביניים, הבנו בעצם שפונקציה היא בעצם אוסף של נקודות במרחב, או איך שאנחנו כבר קראנו לה - מכשיר שמכניסים אליו X ומחזיר מי הY שלו ולהפך. ראינו גם שלפונקציה 2 צורות: צורה של משוואה וצורה של גרף.
*******
אם נסכל בצורתה הגרפית, למשל בדוגמא(2), כאשר מתבוננים בגרף משמאל לימין, אפשר לראות שהפונקציה בהתחלה יורדת, ואז נעצרת שם באיזו נקודה, ולאחר מכן עולה שוב. התנהגות זו של פונקציה מאוד חשובה לנו בחדו"א, ועל מנת להבין אותה טוב, נצטרך להבין מהי הנגזרת. 

הנגזרת

השיפוע

לא נוכל לדבר על הנגזרת בלי לדבר על המושג "שיפוע".

השיפוע הוא מספר, שמגדיר איך הפונקציה שלנו מתנהגת בצורה גרפית:

1. מתי היא עולה ומתי היא יורדת
2. באיזו זוית היא עושה את זה.

כאשר השיפוע חיובי - הפונקציה עולה. 

כאשר השיפוע שלילי - הפונקציה יורדת. 

אם נחזור לגרף של דוגמא(2), נראה שהפונקציה יורדת עד לנקודה (-2,4), ולכן לפי מה שלמדנו, השיפוע באיזור הזה הוא שלילי. נשים לב שכאשר דיברנו על שיפוע, דיברנו גם על הזוית של הפונקציה, ולכן חשוב גם להסתכל על ההיבט הזה. נשים לב שכאשר הפונקציה יורדת עד הנקודה שציינו, אפשר ממש לראות שהזווית שלה כל הזמן משתנה, ולכן השיפוע משתנה כל הזמן. נבין בידיוק מה המשמעות של זווית משתנה

דוגמא(3):
למשל הגרף של הפונקציה הבא מתאר פונקציה יורדת בה הזוית קבועה, כלומר לא משתנה ולכן השיפוע קבוע ושלילי

לעומת גרף הפונקציה הבא, המתאר פונקציה יורדת בה הזוית משתנה כל הזמן, כלומר השיפוע משתנה ושלילי

דוגמא (4)
נתבונן בגרף הפונקציה הבא. ניתן לראות אם כן, ששיפוע הפונקציה לא קבוע,הן בגלל הזוית שמשתנה,והן בגלל שהפונקציה לפעמים עולה ולפעמים יורדת. ניתן ממש לראות שהשיפוע משתנה כתלות בX, כלומר כל X על הגרף מקבל שיפוע שונה. בשביל לחוש יותר טוב את עניין הזוית, אפשר להעביר קו משיק לכל נקודה, ולראות שבכל נקודה הקו נמצא בזוית שונה, כתלות בX.

למשל כאן, העברתי קו משיק בצבע כחול בנקודות שונות, וניתן לראות בצורה ויזואלית שכל קו משיק כזה נמצא בזוית אחרת. למשל כאשר X=-4 הקו המשיק יורד בצורה חדה יותר מאשר X=-3

הערה
נשים לב שבנקודה בה X=-2, שיפוע המשיק ממש מקביל לציר הX. מצב כזה מסמן לנו שהשיפוע בנקודה זו שווה לאפס

ובכן, איך נדע בכל נקודה מהו השיפוע אם הוא עלול להשתנות כל הזמן? אז כאן בידיוק נכנסת הנגזרת

הנגזרת

לפי ההגדרה, הנגזרת היא בעצם השיפוע של הפונקציה כתלות בX.

גם כאן, אעדיף שתחשבו על הנגזרת בצורה אחרת ובריאה יותר. הנגזרת גם היא מכשיר, שכשאנחנו מכניסים אליו איזשהו X, הוא מחזיר לנו מהו השיפוע בנקודה זו. 

אז נעשה מיני סיכום קריטי וחשוב:

הפונקציה היא מכשיר שמקבל מאיתנו X ומחזיר לנו Y

הנגזרת היא מכשיר שמקבל מאיתנו X ומחזיר לנו שיפוע

דוגמא(5):
נתבונן בפונקציה הבאה

כעת נגזור אותה ונקבל:

אם נרצה לדעת מהו השיפוע כאשר X=4 נציב בנגזרת ונקבל:

כלומר, קיבלנו שיפוע שלילי, ולכן ניתן להסיק מזה שבנקודה בה X=4 הפונקציה יורדת

כעת, אם נרצה לדעת מהו הY בנקודה בה X=4 נציב בפונקציה ונקבל

אז לסיכום:

• כאשר X=4 השיפוע שווה ל-4. ואת זה קיבלנו מהנגזרת
• כאשר X=4 בן זוגו הY שווה ל16. ואת זה קיבלנו מהפונקציה

אם נאחד בין המקרים נקבל שבנקודה (4,16) שיפוע הפונקציה הוא 4-

עכשיו תנסו בעצמכם, מהו שיפוע הפונקציה כאשר X=1 ומהי הנקודה?

ברוב המקרים מעניין אותנו לדעת מהי נקודת הקיצון. נקודת הקיצון הינה נקודה בה השיפוע שווה לאפס. כלומר אותה נקודה בה השיפוע ממש מקביל לציר הX כפי שראינו למשל בדוגמא(4). לכן, כאשר אנו רוצים למצוא מהי נקודת הקיצון של פונקציה, נשווה את הנגזרת לאפס, ונמצא מהו הX עבורו השיפוע שווה לאפס.

בשביל להעמיק את הקשר בין פונקציה לנגזרת, נפתור תרגיל חקירת פונקציה, תוך קישור מושגים והסברים שנלמדו עד כה.

דוגמא (6)

נתונה הפונקציה הבאה

א. מהן נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים

ב. מהן נקודות הקיצון ומה סוגן

ג. שרטוט הפונקציה

פתרון

א. כאשר מבקשים מאיתנו נקודות חיתוך עם הצירים, נחלק זאת  ל2:

נקודת חיתוך עם ציר הY, ונקודה חיתוך עם ציר הX.

1. בנקודת חיתוך עם ציר הY אנו יודעים שX=0, זה כלל. ובכן, נקודה מורכבת גם מX וגם מY. כלומר אנחנו במצב שיש בידנו את X (שווה לאפס) ואנחנו צריכים למצוא את Y. זהו בידיוק המצב בו אנו רוצים להפעיל את המכשיר שלנו שיודע להוציא Y כאשר אנחנו מכניסים X כלומר הפונקציה. נכניס לפונקציה:

כלומר נקודת החיתוך עם ציר הY היא (0,0) שזה בעצם ראשית הצירים.

2. בנקודת חיתוך עם ציר הX אנו יודעים שY=0. זה כלל. ובכן, גם יש בידינו את Y ואנחנו רוצים את X. כאן נפעיל את המכונה שלנו בצורתה ההפוכה, ונזכור שלפעמים בצורה זו יתקבלו יותר מפתרון אחד. נכניס:

כלומר נקודות החיתוך עם ציר הX הן (0,0) (8,0)

ב. כאמור, נקודת הקיצון הן הנקודות בהן שיפוע הפונקציה שווה לאפס. כלומר, אנחנו רוצים למצוא באילו נקודות השיפוע אפס. כאשר מדברים על שיפוע אנו פונים ישירות אל המכשיר הדואג לשיפוע הנגזרת.

ראשית נגזור את הפונקציה:

כעת, אנחנו נפעיל את המכשיר בצורתו ההפוכה- נרצה להבין מהו הX עבורו השיפוע שווה לאפס. נציב בנגזרת אפס:

מצאנו את X. אולם ביקשו מאיתנו נקודה. נקודה כאמור מורכבת מX ומY. בשביל למצוא את בן זוגו הY, נחזור לפונקציה שלנו, ונציב בה:

לכן הנקודה *החשודה לקיצון הינה (4,16)

*הנקודה נקראת "חשודה לקיצון" מכיוון שיכול להיות מקרה בו השיפוע שווה לאפס, אבל לא מדובר בנקודת קיצון אלא "בנקודת פיתול". נקודת פיתול היא לא נקודת קיצון, אלא נקודה בה הפונקציה ממשיכה במגמה שלה, לעומת קיצון בה לפניה הפונקציה היתה בעליה/ירידה ואחריה להפך.בודקים זאת בעזרת הטבלה המוצגת לעיל. אדגיש כי המאמר אינו עוסק בחקירת פונקציות ולכן לא מעמיק בנושא זה

סיכום ביניים חשוב של הסעיף
ראינו שבשביל למצוא את X של נקודת הקיצון, היינו צריכים להבין מתי השיפוע שווה לאפס, וכאן פנינו לנגזרת. ולאחר מכן רצינו להבין מי בן זוגו הY, פנינו לפונקציה 

נמשיך. כעת מצאנו נקודה *חשודה לקיצון. על מנת לקבוע את סוגה נעזר בטבלה. אם אכן מדובר בנקודת קיצון, ישנם 2 מקרים:

1. כשמדובר בנקודת מקסימום. נקודה כזו מאופיינת בכך שהפונקציה עולה עד עליה, ואחריה יורדת

2. כשמדובר בנקודת מינימום. נקודה כזו מאופינת בכך שהפונקציה יורדת עד לנקודה, ואחריה עולה

ובכן, בשביל לדעת האם הפונקציה עולה או יורדת, לפי מה שלמדנו נרצה להבין האם השיפוע חיובי או שלילי. תזכורת: שיפוע חיובי-פונקציה עולה. שיפוע שלילי-פונקציה יורדת.

מה שעוד למדנו שבשביל לקבל את השיפוע אנחנו תמיד נפנה אל הנגזרת. לכן נבנה טבלה, ונרצה להבין האם הנגזרת שלנו שלילית או חיובית בשביל לקבוע איך הפונקציה מתנהגת. נציב בטבלה את הX של נקודת הקיצון שלנו.

כעת, נרצה לדעת מה קורה לפונקציה לפני ואחרי. בשביל לדעת זאת נרצה להבין האם השיפוע חיובי או שלילי.כאמור על מנת להשיג את השיפוע נפנה אל הנגזרת. לכן נציב בנגזרת מספרים אקראיים לפני נקודת הקיצון ואחריה, בשביל לקבל את השיפוע.

אם נציב 0 בנגזרת נקבל:

כלומר קיבלנו שיפוע חיובי, ולכן הפונקציה עולה. נסמן + בנגזרת, ונסמן חץ עולה בפונקציה

אם נציב 5 בנגזרת נקבל:

כלומר קיבלנו שיפוע שלילי, ולכן הפונקציה יורדת. נסמן – בנגזרת, ונסמן חץ יורד בפונקציה

ובכן, קיבלנו 2 נתונים חשובים:

1. עד הנקודה הפונקציה שלנו עולה, כלומר תחום העליה שלה הוא כאשר X<4 או בעברית: כל המספרים עד המספר 4.
2. מהנקודה והלאה, הפונקציה שלנו יורדת. כלומר תחום הירידה שלה הוא כאשר X>4 או בעברית: כל המספרים שגדולים מהמספר 4

אז הפונקציה עולה עד 4 ולאחר מכן יורדת, ולכן מדובר בנקודת מקסימום .

ראינו איך הנגזרת בעצם עוזרת לנו להבין איך הפונקציה מתנהגת, מכיוון שהנגזרת נותנת לנו את השיפוע.

ג. אספנו את כל המידע הדרוש על מנת להציג את הפונקציה בצורה גרפית. אנו יודעים איפה היא חותכת את הצירים, איפה נקודות הקיצון שלה, ומה תחומי העליה והירידה. לכן אפשר כבר ממש לדמיין את הפונקציה. בשרטוט זה ייראה כך:

סיכום הדוגמא

ראינו במהלך התרגיל שימוש בפונקציה בנפרד, שימוש בנגזרת, ואת הקשר ביניהם. מטרת הדוגמא הייתה לא ללמד איך פותרים תרגיל בחקירת פונקציה, אלא להסביר את הסיבה ואת העומק בכל שלב פתרון.

כעת, אחרי שהבנו את הנגזרת ושימושיה, הייתי רוצה שנכנס בצורה עמוקה יותר על הקשר בין הנגזרת לפונקציה. כאן נכנס הנושא של הנגזרת כפונקציה

הנגזרת כפונקציה

למדנו עד כה מהי פונקציה, ומהי נגזרת, יחסית בהפרדה. למדנו בעצם שהנגזרת נותנת לנו את שיפוע הפונקציה, בהניתן איזשהו X שאכניס אליה. נקח למשל את הפונקציה הבאה:

כעת נגזור אותה ונקבל:

קיבלנו את הנגזרת. אם נתבונן במשוואה הזו, ונוריד את הצ'ופצ'יק מעל הF, נקבל פונקציה לכל דבר.

כלומר ניתן לחשוב על הנגזרת כפונקציה. אם נשרטט את הנגזרת שיצאה לנו נקבל את הגרף הבא:

אפשר לראות שהפונקציה הזו שלילית (כלומר נמצאת מתחת לציר הX) כאשר X<3, והפונקציה חיובית (כלומר נמצאת מעל ציר הX) כאשר X>3.

אם נחזור למשמעות הנגזרת:

• אם הנגזרת חיובית, כלומר שהשיפוע חיובי, אז מכאן שהפונקציה עולה.
• אם הנגזרת שלילית, כלומר שהשיפוע שלילי, אז מכאן שהפונקציה יורדת.

לכן רק מהסתכלות על גרף פונקצית הנגזרת, אפשר כבר להבין שהפונקציה יורדת עד לנקודה בה X=3,כלומר תחום הירידה שלה הוא X<3

והפונקציה עולה מהנקודה הזו והלאה. כלומר תחום העליה שלה הוא X>3

כלומר הנקודה בה X=3 היא נקודת מקסימום של הפונקציה

מהדוגמא החשובה הזו אנחנו מסיקים את הכללים הבאים:

1. תחומי החיוביות והשליליות של פונקצית הנגזרת הם תחומי העליה והירידה של הפונקציה, לפי כללי השיפוע(חיובי:עליה, שלילי:ירידה)
2. הכלל החשוב הבא: נקודת חיתוך של גרף פונקצית הנגזרת עם ציר הX, נותנת לנו את הX של הנקודה החשודה לקיצון של הפונקציה.

בשביל לחזק את כלל 2, נבין שמשמעות של נקודת חיתוך עם ציר הX היא שהY=0. אבל המשמעות של Y=0 בגרף פונקצית הנגזרת היא שהנגזרת שווה לאפס- ותזכורת, הנקודה בה הנגזרת שווה לאפס חשודה לקיצון.

לסיכום

הצגנו והסברנו מהי הפונקציה, מהי הנגזרת ומה הקשר ביניהם. הבנו שכל אחת מהן מקבלת משמעות שונה בחדו"א, אבל הקשר ביניהם חזק וחשוב.  נקודות סיכום חשובות:

• הנגזרת הינה שיפוע גרף הפונקציה כתלות ב X
• כאשר הנגזרת חיובית-הפונקציה עולה. כאשר הנגזרת שלילית-הפונקציה יורדת
• נקודת החיתוך עם גרף פונקצית הנגזרת עם ציר הX נותנת לנו את הX של הנקודה החשודה לקיצון של הפונקציה
• לא להתבלבל: אם רוצים למצוא נקודה - פונים לפונקציה. אם רוצים למצוא שיפוע או כל מה שקשור להתנהגות הפונקציה - פונים לנגזרת.