הקשר בין גרף הפונקציה לנגזרת

נקודת קיצון בפונקציה היא נקודת חיתוך עם ציר ה x בגרף הנגזרת.
(כי בנקודת הקיצון של הפונקציה ערך הנגזרת הוא 0).
ולהיפך: כאשר הנגזרת f ' (x) חותכת את ציר ה x לפונקציה f(x) יש קיצון.

עליה בפונקציה ⇐ גרף הנגזרת חיובי.
ירידה בפונקציה ⇐ גרף הנגזרת שלילי.

ולהיפך:
גרף נגזרת חיובי ⇐ עליה של הפונקציה.
גרף נגזרת שלילי ⇐ ירידה של הפונקציה.

זה משהו שאנחנו כבר מכירים מהטבלאות שבעזרתם בודקים נקודת קיצון.

כאשר גרף הנגזרת f ' (x) משיק (ולא חותך) את ציר ה x לגרף הפונקציה f(x) אין קיצון
(כי הפונקציה לא עוברת מעליה לירידה או להיפך משני הצדדים של הנקודה החשודה כקיצון).

בנקודת מינימום של הפונקציה גרף הנגזרת עובר משליליות לחיוביות.
בנקודת מקסימום גרף הנגזרת עובר מחיוביות לשליליות.

נקודת קיצון בפונקציה היא נקודת חיתוך עם ציר ה x בגרף הנגזרת.

בנקודת הקיצון ערך הנגזרת הוא 0:
f ' (x) = 0

כאשר f ' (x) = 0  זה אומר שהגרף של f ' (x) חותך את ציר ה x.

זה כמו כל פונקציה שכאשר y = 0 מתקבלת נקודת חיתוך עם ציר ה x.

וניתן לראות את זה בגרף שלמעלה, כאשר יש קיצון ל f(x)

עליה בפונקציה ⇐ גרף הנגזרת חיובי.
ירידה בפונקציה ⇐ גרף הנגזרת שלילי.

רובנו זוכרים:
כאשר הפונקציה עולה הנגזרת חיובית.
כאשר הפונקציה יורדת הנגזרת שלילית.

אבל חלק מאיתנו מפספסים את המשמעות הגרפית של "נגזרת חיובית" או "נגזרת שלילית".

כאשר הנגזרת חיובית זה אומר שהגרף שלה נמצא מעל ציר ה x.
כלומר, הגרף צריך להיות ברביע 1 או 2.

3.נקודת השקה של גרף הנגזרת עם ציר ה x לא מסמלת נקודת קיצון של הפונקציה.

בנקודת מינימום של הפונקציה גרף הנגזרת עובר משליליות לחיוביות.
בנקודת מקסימום גרף הנגזרת עובר מחיוביות לשליליות.

דבר זה הוזכר כבר בפתיחה של הדף.

בכול נקודת המינימום הפנימיות הנגזרת עוברת משליליות (ירידת הפונקציה) לחיוביות (עליית הפונקציה).

בכול נקודת המקסימום הפנימיות הנגזרת עוברת מחיוביות (עליית הפונקציה) לשליליות (ירידת הפונקציה).

ובעזרת התכונה הזו ניתן לזהות בעזרת גרף הנגזרת האם לפונקציה יש מינימום או מקסימום.

זיהוי גרפים

כאשר נתונים שני גרפים לא מזוהים.
גרף אחד של פונקציה f(x) וגרף אחד של נגזרת f ' (x).

כיצד נזהה מי הוא גרף הפונקציה ומי גרף הנגזרת?

מזהים בעזרת שלושת הכלים שלנו:

1. קיצון בגרף הפונקציה הוא חיתוך עם ציר ה x בגרף הנגזרת.
2. בדיקה האם החיתוך של גרף אחד עם ציר ה x מלמד על מינימום או מקסימום.
3. בדיקת התאמה בין תחומי עליה של גרף אחד לתחומי חיוביות של הגרף האחר.

הרבה פעמים הכלי הראשון: התאמה בין קיצון לחיתוך יעשה את העבודה אך לא תמיד.

בפועל
נזהה נקודת קיצון באחד הגרפים ונראה אם הגרף השני חותך את ציר ה x באותו ערך x.

על מנת לשרטט את גרף הפונקציה על פי גרף בנגזרת נתמקד בשני דברים:

1. רישום נקודות הקיצון כנקודות חיתוך עם הצירים.
2. זיהוי תחומי העלייה והירידה של הפונקציה והפיכתם לתחומי חיוביות ושליליות של הנגזרת.