דמיון משולשים ומצולעים

משולשים דומים

הגדרה: משולשים דומים הם משולשים אשר שלושת הזויות שלהם שוות בהתאמה וגם היחס בין כל זוג צלעות מתאימות הוא שווה.
שני משולשים דומים, הם למעשה הגדלה או הקטנה אחד של השני. 

כדי להבין זאת, נביט בדוגמא הבאה:

דוגמא 1

נתונים שני משולשים שבציור

\(Δ ABC\)
\(Δ DEF\)

נתון כי משולש \(Δ ABC\) ומשולש \(Δ DEF\) הם משולשים דומים.
נסמן זאת  עם הסימן  ~

זה נראה כך:
\(Δ ABC \) ~ \(Δ DEF\)
חשוב להקפיד בכתיבה על סדר קודקודים נכון, בדומה לחפיפת משולשים.

מכך נוכל להסיק כי שלושת הזויות שוות בהתאמה כלומר:

\(∢A=∢D\)
\(∢B=∢E\)
\(∢C=∢F\)

וכן נוכל להסיק כי היחס בין כל זוג צלעות מתאימות הוא שווה. כלומר:

\(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD} \)

היחס הזה בין הצלעות נקרא יחס הדמיון. נשים לב כי שני משולשים חופפים הם גם משולשים דומים כאשר יחס הדמיון הוא 1.

מהו יחס הדמיון?

יחס הדמיון הוא היחס בין שתי צלעות מתאימות בשני משולשים דומים. 

דוגמא 2:
נתון כי שני המשולשים   \(Δ ABC\) ו-\(Δ DEF\) הם משולשים דומים כלומר:

\(Δ ABC \) ~ \(Δ DEF\)

כמו כן נתון 
\(AB  = 8\)
\(BC = 12\)
\(CA = 6\)
וכן:
\(DE = 4 \)
\(EF = 6\)
\(FD = 3\)
כל הנתונים מסומנים בשרטוט

חשבו מהו יחס הדמיון בין שני המשולשים.

 
נשיב לב כי גודל הזויות לא ידוע לנו, אך אין לנו צורך בכך בכדי לחשב את יחס הדמיון. נוכל לחשב את יחס הדמיון על פי יחס בין כל זוג צלעות מתאימות:

\(\frac{AB}{DE}=\frac{8}{4}=2 \)
\( \frac{BC}{EF}=\frac{12}{6}=2 \)
\( \frac{CA}{FD}=\frac{6}{3}=2 \)

כלומר, ראינו כי יחס הדמיון בין המשולש \(Δ ABC\) למשולש \(Δ DEF\)  הוא 1:2.
מש״ל

נשים לב כי יחס הדמיון בין אורכי הצלעות של  המשולש \(Δ DEF\) למשולש \(Δ ABC\) הוא 2:1
מבחינה אינטואיטיבית, אורך כל צלע במשולש \(Δ ABC\) ארוך פי 2 מכל צלע במשולש \(Δ DEF\) בהתאמה.

על מנת להוכיח דמיון בין משולשים ניעזר באחד משלושת המשפטים הבאים: 
   - זווית-זווית (ז.ז): אם שתי זוויות שוות בהתאמה בין שני משולשים, אז המשולשים דומים.
   - צלע-זווית-צלע (צ.ז.צ): אם היחס בין שתי זוגות של צלעות הוא שווה,  וגם והזוויות הכלואות ביניהן שוות זו לזו, אז המשולשים דומים.
   - צלע-צלע-צלע (צ.צ.צ): אם עבור שני משולשים, היחס בין כל שלושת הצלעות במשולש אחד לשלושת הזוגות במשולש השני הוא שווה (יחס הדמיון) אז המשולשים דומים.

תרגיל לדוגמא -  חישוב אורך צלע

נתונים שני המשולשים שבשרטוט מטה
\(Δ ABC\)
\(Δ DEF\)
הם משולשים דומים, כלומר
\(Δ ABC\) ~ \(Δ DEF\)  
כמו כן נתון:
\(AB = 5\)
\(DE = 2.5\)
\(FD = 1\)
\(∢A=∢E\)
\(∢B=∢F\)
\(∢C=∢G\)

כל הנתונים מסומנים בשרטוט

 
שאלה: מהו האורך של צלע AC?

פתרון: 
שני המשולשים דומים, לכן נחשב את יחס הדמיון ובעזרתו נפתור את השאלה. נזכור כי היחס בין כל שתי צלעות במשולשים דומים הוא שווה ולכן:

\(\frac{AB}{DE}=\frac{5}{2.5}=\frac{2}{1} \)

כלומר יחס הדמיון הוא 2:1, וכל צלע במשולש ABC גדולה פי 2 מכל צלע המתאימה לה במשולש DEF. 
כעת נוכל לחשב את אורך הצלע  AC.  על פי יחס הדמיון:

\( \frac{AC}{DF}=2\)

נציב ונקבל:

\( \frac{AC}{1}=2 \)

כלומר קיבלנו :

\(AC=2\)

מש״ל

דמיון מצולעים

הגדרה: אם עבור שני מצולעים כל הזויות שוות, וקיים יחס קבוע בין כל שתי צלעות מתאימות, אז המצולעים דומים.
מבחינה אינטואיטיבית, בדומה למשולשים דומים, גם כל שני מצולעים דומים הם למעשה הגדלה או הקטנה אחד של השני.

דוגמא 3 – דמיון מצולעים

שני הריבועים הללו הם ריבועים דומים:

 
כל שתי זוויות מתאימות שוות מאחר וכל הזויות ישרות. היחס בן כל שתי צלעות מתאימות, כלומר יחס הדמיון, הוא 
2/1
או במילים אחרות, כל אחת מן הצלעות גדולה פי 2 עבור הריבוע הגדול מאשר בריבוע הקטן

דוגמא 4 – מצולעים דומים:

שני המחומשים בשרטוט דומים, כלומר כל שתי זויות מתאימות הן שוות. כאשר יחס הדמיון הוא 

\( \frac{EF}{AB}=\frac{3}{2}=\frac{1.5}{1}\)

כלומר, עבור כל זוג צלעות מתאימות, האורך במחומש FGHIJ ארוכה פי 1.5 מאשר במחומש BCDEA