דלתון וכל מה שצריך לדעת על הוכחת דלתון

לא פעם כשאנחנו יושבים על חוף הים למולנו מעופפים סדרה של עפיפונים, בחנתם את צורתם? זו היא צורת דלתון.
דלתון הוא צורה מעט טריקית. הוא מרובע אבל לא ריבוע והוא דומה בצורתו למעוין ולמקבילית אבל ההגדרות שלו שונות.
במאמר זה נלמד מה הוא דלתון ומה מזהים אותו

מה הוא דלתון

בגיאומטריה, דלתון מוגדר כמרובע המורכב מ2 משולשים שווי שוקיים שהם על בסיס אחד

אז מה תעודת הזהות של דלתון במשפחת המרובעים?

• מרובע שיש לו 2 זוגות של צלעות סמוכות שוות

לדוגמה:

אם נתון: AD=AB, DC=BC

אז: ABCD הוא דלתון ע"פ הגדרה.

• 2 משולשים שווי שוקיים עם בסיס משותף יוצרים דלתון.
• סכום הזויות בדלתון 360 מעלות.
• שטח דלתון מכיל את מס' יח הריבועיות המכסות את חלק המישור הכלוא בין צלעותיו
• היקף הדלתון הוא אורכו של החוט בעזרתו גידרנו את צורת הדלתון והוא נמדד ביחידות אורך כמו מטרים או סמ'

כמה מושגי יסוד בדלתון

אלכסון ראשי

האלכסון העובר בין הצלעות הזהות בדלתון

אלכסון משני

הבסיס המשותף של 2 משולשים שווי שוקיים בדלתון נקרא אלכסון משני.

זוויות הראש

הזויות שבין הצלעות השוות בדלתון

זוויות בסיס

הזויות שהבסיס המשותף עובר דרכן 

סוגי דלתון

דלתון קמור

דלתון שאלכסוניו בתוכו (כמו בתמונות של הדלתונים למעלה)

דלתון קעור

דלתון שאחד מאלכסוניו בחוץ (כמין קערה)          

מי עוד משתייך למשפחת הדלתונים?

מעוין

כל הצלעות שוות-אלכסונים מאונכים, אלכסונים חוצים זה את זה  וחוצים את הזויות, מכל צד שנביט בו המרובע דלתון. המעוין הוא למעשה דלתון שווה צלעות

ריבוע

המשוכלל שבחבורה , אלכסוניו מאונכים וחוצים זה את זה , חוצים את הזויות כמו במעוין אבל בריבוע אורכי האלכסונים שווים כמו במלבן. כמו כן מכל צד שנביט בו נבחין ב2 משולשים שווי שוקיים עם בסיס משותף לכן יתקיימו בו גם תכונות הדלתון. הריבוע בעצם דלתון שווה צלעות ושווה זויות (שכל הזויות בו ישרות)

וכמובן, הדלתון עצמו

2 זוגות של צלעות סמוכות שוות

           

הוכחת דלתון

למה בדלתון זויות הבסיס שוות?

נשתמש בהגדרת הדלתון: 2 משולשים שווי שוקיים בעלי בסיס משותף

לכן: AD=AB , וגם CD=CB .

לפי זה: ABD > = ADB > כי זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות

וגם: BDC > = DBC > זויות בסיס במשולש שווי שוקיים שוות

לכן: ABC > = ADC > חברנו זויות שוות עם זויות שוות לכן סכום הזויות שווה (כלל הסכום)

גם אם היינו חופפים את המשולשים:ABC Δ עם ADCΔ

נקבל: 

AB=AD (נתון)

BC=DC (נתון)

AC=AC (צלע משותפת)

לכן ניתן להסיק:

ABC Δ ADC≅ Δ (ע"פ משפט חפיפה : צלע, צלע, צלע)

ABC >= ADC > (זויות מתאימות במשולשים חופפים שוות)

כתוצאה מהחפיפה ניתן להסיק את משפט הדלתון:

• אלכסון ראשי בדלתון חוצה את הזויות , חוצה אלכסון משני ומאונך עליו

ABC Δ ADC ≅  Δ (ע"פ משפט חפיפה : צלע, צלע, צלע) הוכחנו

לכן: DAC >=BAC >

וגם: BCA > = DCA > זויות מתאימות במשולשים חופפים שוות 

• אלכסון ראשי בדלתון חוצה אלכסון משני ומאונך עליו

ע"פ הנתון: AD=AB הרי משולש ADB הוא משולש שווה שוקיים.

ובמשולש שווה שוקיים חוצה זוית הראש מאונך לבסיס וחוצה אותו.

לכן: AC ┴DB  וגם: DM=BM

לפי זה נוכל לחשב את הצלעות החסרות והזויות החסרות בדלתון הנתון:

ABCD הוא דלתון, מצא את X, Y, α ,β  בדלתון הנתון

AB=AC=X, 

5 ס"מ=X

על פי הגדרת הדלתון.

40⁰ = α =BAD > אלכסון ראשי בדלתון חוצה את הזוויות.

50⁰ = β = ADC > אלכסון ראשי בדלתון חוצה את הזויות

3 ס"מ=Y, אלכסון ראשי בדלתון חוצה אלכסון משני.

חישוב היקף דלתון נעשה על ידי חיבור כל הצלעות שלו:

5+5+4+4=18 ס"מ

וחישוב שטח דלתון נעשית על ידי שימוש במחצית מכפלת האלכסונים:

חישוב האלכסון המשני: 6 ס"מ=3+3=CB

וכדי לחשב את אורך האלכסון הראשי AC נעזר במשפט פיתגורס במשולשים ישרי זווית שיצרו האלכסונים (עפ תכונתם הוכחנו כי הם מאונכים זה לזה )

ולכן במשולש ABO נקבל:

5²= ² 3 + ² AO

25 = 9 + ² AO

16 = ² AO

4 ס"מ=AO

ובמשולש CBO נקבל:

² 4 = ² 3 +² CO

16 = 9 + ² CO

7 = ² CO

2.645 סמ'=CO

לכן אורך האלכסון הראשי שווה:

6.645 ס"מ=4+2.645

נוכל לחשב את שטח הדלתון:

סמ"ר \({6.645*6 \over 2}=19.935\)

 

הוכחת דלתון - מה התנאי ההכרחי כדי לקבל דלתון?

האם כל מרובע שאלכסוניו מאונכים יוצר דלתון? 

התשובה היא: לא בהכרח

ראו דוגמה:

אם כך, מה הוא התנאי הנוסף לאלכסונים מאונכים המחייב קבלת דלתון?

בואו נבדוק, הנה מרובע בו אלכסון אחד חוצה את השני ומאונך לו,  האם בהכרח יתקבל דלתון?          

נתון:

DO=BO                        

AC ┴ DB

האם בהכרח מתקבל דלתון?

נתון לנו כי DO=BO וגם AC ┴ DB

לכן ניתן להסיק כי AD=AB וגם DC=BC (במשולש שבו הגובה הוא תיכון הוא משולש שווה שוקיים)

לפי זה, ABCD דלתון ע"פ ההגדרה: 2 משולשים שווי שוקיים על בסיס משותף אחד יוצרים דלתון.

תנאי נוסף לקבלת מרובע שהוא דלתון: אחד האלכסונים חוצה את הזויות

נתון:

₁ A >=₂ A > , ₁ C >=₂ C 

נוכיח: ABCD הוא דלתון

הוכחה:

2A >= 1 A > (נתון)

2C >=1C> (נתון)

AC=AC (צלע משותפת)

לכן:

ABCΔADC ≅ Δ (על פי משפט חפיפה זווית, צלע , זווית)

לכן: 

AB=AD

BC=DC (צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות) מ.ש. ל

---