בגיאומטריה, דלתון מוגדר כמרובע המורכב מ2 משולשים שווי שוקיים שהם על בסיס אחד
לדוגמה:
אם נתון: AD=AB, DC=BC
אז: ABCD הוא דלתון ע"פ הגדרה.
האלכסון העובר בין הצלעות הזהות בדלתון
הבסיס המשותף של 2 משולשים שווי שוקיים בדלתון נקרא אלכסון משני.
הזויות שבין הצלעות השוות בדלתון
הזויות שהבסיס המשותף עובר דרכן
דלתון שאלכסוניו בתוכו (כמו בתמונות של הדלתונים למעלה)
דלתון שאחד מאלכסוניו בחוץ (כמין קערה)
לא פעם כשאנחנו יושבים על חוף הים למולנו מעופפים סדרה של עפיפונים, בחנתם את צורתם? זו היא צורת דלתון.
דלתון הוא צורה מעט טריקית. הוא מרובע אבל לא ריבוע והוא דומה בצורתו למעוין ולמקבילית אבל ההגדרות שלו שונות.
במאמר זה נלמד מה הוא דלתון ומה מזהים אותו
כל הצלעות שוות-אלכסונים מאונכים, אלכסונים חוצים זה את זה וחוצים את הזויות, מכל צד שנביט בו המרובע דלתון. המעוין הוא למעשה דלתון שווה צלעות
המשוכלל שבחבורה , אלכסוניו מאונכים וחוצים זה את זה , חוצים את הזויות כמו במעוין אבל בריבוע אורכי האלכסונים שווים כמו במלבן. כמו כן מכל צד שנביט בו נבחין ב2 משולשים שווי שוקיים עם בסיס משותף לכן יתקיימו בו גם תכונות הדלתון. הריבוע בעצם דלתון שווה צלעות ושווה זויות (שכל הזויות בו ישרות)
2 זוגות של צלעות סמוכות שוות
נשתמש בהגדרת הדלתון: 2 משולשים שווי שוקיים בעלי בסיס משותף
לכן: AD=AB , וגם CD=CB .
לפי זה: ABD > = ADB > כי זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות
וגם: BDC > = DBC > זויות בסיס במשולש שווי שוקיים שוות
לכן: ABC > = ADC > חברנו זויות שוות עם זויות שוות לכן סכום הזויות שווה (כלל הסכום)
גם אם היינו חופפים את המשולשים:ABC Δ עם ADCΔ
נקבל:
AB=AD (נתון)
BC=DC (נתון)
AC=AC (צלע משותפת)
לכן ניתן להסיק:
ABC Δ ADC≅ Δ (ע"פ משפט חפיפה : צלע, צלע, צלע)
ABC >= ADC > (זויות מתאימות במשולשים חופפים שוות)
כתוצאה מהחפיפה ניתן להסיק את משפט הדלתון:
ABC Δ ADC ≅ Δ (ע"פ משפט חפיפה : צלע, צלע, צלע) הוכחנו
לכן: DAC >=BAC >
וגם: BCA > = DCA > זויות מתאימות במשולשים חופפים שוות
ע"פ הנתון: AD=AB הרי משולש ADB הוא משולש שווה שוקיים.
ובמשולש שווה שוקיים חוצה זוית הראש מאונך לבסיס וחוצה אותו.
לכן: AC ┴DB וגם: DM=BM
לפי זה נוכל לחשב את הצלעות החסרות והזויות החסרות בדלתון הנתון:
ABCD הוא דלתון, מצא את X, Y, α ,β בדלתון הנתון
AB=AC=X,
5 ס"מ=X
על פי הגדרת הדלתון.
400 = α =BAD > אלכסון ראשי בדלתון חוצה את הזוויות.
500 = β = ADC > אלכסון ראשי בדלתון חוצה את הזויות
3 ס"מ=Y, אלכסון ראשי בדלתון חוצה אלכסון משני.
חישוב האלכסון המשני: 6 ס"מ=3+3=CB
וכדי לחשב את אורך האלכסון הראשי AC נעזר במשפט פיתגורס במשולשים ישרי זווית שיצרו האלכסונים (עפ תכונתם הוכחנו כי הם מאונכים זה לזה )
ולכן במשולש ABO נקבל:
52= 2 3 + 2 AO
25 = 9 + 2 AO
16 = 2 AO
4 ס"מ=AO
ובמשולש CBO נקבל:
2 4 = 2 3 +2 CO
16 = 9 + 2 CO
7 = 2 CO
2.645 סמ'=CO
לכן אורך האלכסון הראשי שווה:
6.645 ס"מ=4+2.645
נוכל לחשב את שטח הדלתון:
סמ"ר \({6.645*6 \over 2}=19.935\)
האם כל מרובע שאלכסוניו מאונכים יוצר דלתון?
התשובה היא: לא בהכרח
ראו דוגמה:
בואו נבדוק, הנה מרובע בו אלכסון אחד חוצה את השני ומאונך לו, האם בהכרח יתקבל דלתון?
נתון:
DO=BO
AC ┴ DB
האם בהכרח מתקבל דלתון?
נתון לנו כי DO=BO וגם AC ┴ DB
לכן ניתן להסיק כי AD=AB וגם DC=BC (במשולש שבו הגובה הוא תיכון הוא משולש שווה שוקיים)
לפי זה, ABCD דלתון ע"פ ההגדרה: 2 משולשים שווי שוקיים על בסיס משותף אחד יוצרים דלתון.
נתון:
1 A >=2 A > , 1 C >=2 C
נוכיח: ABCD הוא דלתון
הוכחה:
2A >= 1 A > (נתון)
2C >=1C> (נתון)
AC=AC (צלע משותפת)
לכן:
ABCΔADC ≅ Δ (על פי משפט חפיפה זווית, צלע , זווית)
לכן:
AB=AD
BC=DC (צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות) מ.ש. ל