אלכסונים במלבן

אלכסונים במלבן

הכירו את אלכסוני המלבן:

אלכסון \(AC\) ואלכסון \(DB\) הם האלכסונים של המלבן שלפנינו.
\(E\) היא נקודת חיתוך האלכסונים.
תכונות אלכסוני המלבן:

1. אלכסוני המלבן שווים זה לזה.
   כלומר – \(AC=DB\)
   תוכלו להשתמש בתכונה זו מבלי להוכיח אותה. במידה ויבקשו מכם להוכיח את הטענה הזו – תוכלו לעשות זאת בקלות באמצעות חפיפת המשולשים \(ADC \) ו – \(ABC\) לפי צלע זווית צלע. לאחר שתוכיחו שהמשולשים חופפים יהיה ניתן להסיק ש – \(AC = BD\) ומכאן שאלו הם בעצם אלכסוני המלבן והם שווים.
2. אלכסוני המלבן חוצים זה את זה.
   כלומר – כל אלכסון חוצה לחצי את האלכסון השני כך שכל החצאים שווים.
   בעצם: \(AE=DE=CE=DE\)
   שימו לב – תכונה זו יכולה לעזור לכם בתרגילים בהם תידרשו להוכיח שמשולשי המלבן הנגדיים חופפים זה לזה. בנוסף תכונה זו יכולה לעזור לכם בתרגילים בהם תצטרכו להוכיח ששטחם של 4 המשולשים זהה.

חשוב שתשימו לב – 
אלכסוני המלבן אמנם חוצים זה את זה אך:
-    הם לא מאונכים זה לזה – לא יוצרים זווית ישרה בחיתוך שלהם.
-    והם אינם חוצים את זוויות המלבן! 

עכשיו אחרי שלמדתם את כל מה שאתם צריכים לדעת על אלכסוני המלבן, הגיע הזמן לתרגל!

תרגול:

1.    לפניכם מלבן.
א.     הוכיחו שמשולש \(AEB\) שווה שטח למשולש \(DEC\).
ב.    האם זווית \(DEC\) שווה \(90\)? נמקו
ג.    האם זווית \(ABE\) שווה לזווית \(CBE\)? נמקו 

פתרון:
א.    נתון מלבן.
במלבן האלכסונים שווים חוצים זה את זה ומכאן ניתן להסיק ש:
\(AE=BE=CE=DE\)
נוכל להוכיח חפיפה בין משולש \(AEB \)ל – \(DEC\)
צלע \(AE=DE\) – הוסבר למעלה
זווית \(AEB\)= זווית \(DEC\) – זווית מתחלפות שוות
צלע – BE=CE – הוסבר למעלה
לכן לפי צ.ז.צ המשולש \(AEB \) חופף למשולש \(DEC\)
ולכן ניתן להסיק ששטח המשולשים זהה. למשולשים חופפים שטח זהה.

ב.    זוויות \(DEC\) אינה שווה \(90\) מעלות מאחר והאלכסונים במאונך אינם מאונכים זה לזה.
ג.    זווית \(ABE\) לא שווה לזווית \(CBE \) מאחר והאלכסונים במשולש לא משמשמים גם כחוצי זווית.

תרגיל נוסף:

לפניכם מלבן.
א.    הוכיחו שמשולש \(ADE\) חופף למשולש \(BEC\)
ב.    הוכיחו שלכל ארבעת המשולשים שנוצרו במלבן יש שטח זהה.

פתרון:
א.    נתון מלבן. במלבן האלכסונים שווים זה לזה וחוצים זה את זה ומכאן ש:
\(AE=BE=DE=CE\)
נוכל להוכיח את החפיפה באמצעות צלע זווית צלע:
צלע – \(AE=BE\) הוסבר למעלה
זווית \(BEC\) שווה לזווית \(AED\) זוויות קודקודיות שוות.
צלע \(DE=CE\) הוסבר למעלה
לכן משולש \(ADE\)חופף למשולש \(BEC\)

ב.    כדי לחשב שטח ניזכר בנוסחת שטח משולש:
הכפיל גובה לצלע כפול צלע ואת התוצאה נחלק ב-\(2\).

כדי לחשב את שטח משולש \(ADE\) נצטרך להוציא גובה לצלע \(DE\) 
נקרא לו \(AG\) ונסמן אותו בקו מקווקו.

נשים לב שהגובה \(AG\) משמש גם כגובה חיצוני למשולש \(AEB\) – יוצר זווית ישרה עם המשך הצלע \(BE\).
כדי לחשב את שטח משולב \(AEG\) נשתמש בגובה \(AG\) כפול \(EB\) ונחלק את התוצאה ב-\(2\).

ניתן להסיק שהמשתנים השונים בחישוב של שני השטחים הם רק \(DE\) ו\(EB\) שהם שווים לפי התכונה שהאלכסונים במלבן חוצים זה את זה ולכן שני השטחים של המשולשים הללו שווים.
מכאן נצטרך להוכיח חפיפה בין משולש \(AEG\) למשולש \(BEC\) כמו שהוכחנו בסעיף א. – לשני משולשים חופפים שטח זהה.
ונצטרך להוכיח חפיפה של \(AEB \) ומשולש \(DEC\) לפי צלע זווית צלע.
מכאן שלכל ארבעת המשולשים במלבן יש שטח זהה.