דלג על הניווט

אלגברה לינארית - הוכחות ותחומי מחקר עיקריים

אלגברה לינארית היא תחום פופולרי מאוד בלימודי מתמטיקה - הן בבית הספר, באקדמיה ובאופן ספציפי במקצועות מדעיים. אלגברה לינארית הוא ענף העוסק במערכות של משוואות לינאריות, משוואות שניתן לפתור בעזרת מטריצות ווקטורים.

החשיבות הרבה של האלגברה הלינארית נעוצה בשימושים הרבים שלה כמעט בכל תחומי החיים, ולכן היא נלמדת בתחומים רבים, גם אלו הקשורים למדעי החברה.

רוצים ללמוד אלגברה ליניארית עם מורה מנוסה?

כנסו לקישור הבא: בקישור מוצגת רשימה מסודרת של מורים לאלגברה ליניארית עם פרופיל מפורט הכולל ניסיון, תגובות והשוואת מחירים.

ישנם כמה תחומי מחקר עיקריים בתחום אלגברה לינארית:

הגדרת המושג - שדה

שדה הוא מבנה אלגברי, שנהוג לסמן באמצעות האות F. הדוגמאות הפופולריות ביותר של שדות אלגברים הן שדה המספרים הרציונליים, המספרים הממשיים והמרוכבים. השדה מכיל שני איברים לכל הפחות, 0 ו-1, וכן שתי פעולות בינאריות קבועות: חיבור וכפל. כל שדה מקיים כמה אקסיומות, ביניהן:

  • a+ b= b+a
  • a*1 = a
  • a+0= a

מרחב וקטורים באלגברה ליניארית

מרחב וקטורי הוא גם כן מבנה אלגברי, המסומן ב-V ונמצא מעל שדה F. כל האיברים במרחב הוקטורי הם למעשה "וקטורים", ולכל איבר יש גודל וכיוון. ישנן שתי פעולות עיקריות שניתן לבצע על איברים וקטורי: חיבור וקטורי וכפל בסקלר. 

כדי להדגים את המרחב הוקטורי בצורה פשוטה אפשר לחשוב על המרחב Rn. מרחב זה מסמן את כל המספרים הממשיים הקיימים בשדה R.

הגדרות נפוצות של אלגברה לינארית

ישנן שלוש הגדרות שכדאי להכיר כשמדברים על אלגברה לינארית: בסיס, תת-מרחב וצירוף לינארי. לכל מרחב וקטורי יש בסיס, שהוא למעשה קבוצה בלתי תלויה של וקטורים הפורשת אותו. תת-מרחב של מרחב וקטורי הוא למעשה תת קבוצה המהווה בעצמה מרחב וקטורי, ולקוחה מתוך המרחב הוקטורי הגדול.

תת קבוצה W תקרא תת-מרחב של המרחב הווקטורי V אם היא עונה על כמה אקסיומות. הגדרה נוספת שכדאי להכיר היא הצירוף הלינארי. צירוף לינארי הוא למעשה סכום של וקטורים, שכל אחד מהם מוכפל בסקלר. צירוף לינארי נחשב בעצמו וקטור השייך לאותו מרחב וקטור, ולכן הוא למעשה תת-מרחב. 

העתקות לינאריות

העתקה לינארית (או בשמה השני, טרנספורמציה לינארית), היא העתקה בין שני מרחבים וקטוריים מעל אותו שדה. זוהי למעשה פונקציה ממרחב וקטורי אחד למרחב וקטורי שני. ישנן כמה שיטות לבצע העתקה לינארית, הידועה בהן היא בעזרת מטריצה.

במילים אחרות, ניתן להגיד כי מטריצות מהוות פונקציות בין מרחבים וקטורים. טרנספורמציה לינארית היא אחד הנושאים הנלמדים ביותר כשמדובר על אלגברה לינארית. 

לדוגמה, אם ניקח שני מרחבים וקטוריים V ו-W מעל אותו שדה F, נוכל לבצע העתקה לינארית ממרחב אחד לשני באמצעות תיאור הפונקציה הבאה:

T: V - > W

יש לענות על כמה תנאים בכדי לבצע טרנספורמציה לינארית, ביניהם שימור חיבור ושימור כפל בסקלר, כדי ליצור העתקה אדיטיבית והומוגנית. 

תורת המטריצות

בכדי לבצע טרנספורמציה לינארית, ניתן, כאמור, להשתמש במטריצה באמצעות שיטות דירוג מטריצות ומשוואות לינאריות. מטריצה מעל שדה מסוים היא מערך של איברים הנכתבת בצורה של שורות ועמודות, כמו טבלה. בעזרת מטריצה ניתן להציג אינפורמציות שונות ולבצע העתקה לינארית.  מטריצה, לרוב, מסומנת באות גדולה ונכתבת בעזרת סוגריים מרובעים,

לדוגמה:
[A = [1 2 3   
זוהי מטריצה מעל שדה המספרים הממשיים. 

וקטורים וערכים עצמיים

שיטה אחת של העתקה לינארית היא, כאמור, באמצעות מטריצה, אבל לא תמיד מטריצות הן הפיתרון האידאלי של העתקות לינאריות. לעתים, נרצה להשתמש בוקטורים עצמיים כדי לפשט את חישוב המטריצות. ברגע שהופכים את המטריצה למטריצה לכסינה, כלומר מטריצה בעלת וקטורים עצמיים לאורך האלכסון של המטריצה, חישוב המטריצה יהפוך פשוט יותר (כולל כפל מטריצות ומטריצות הופכיות), וכך המטריצה נעימה יותר לחישוב. ישנן שיטות שונות ללכסון מטריצות, הפופולרית שבהם היא שימוש באלגוריתם ללכסון מטריצות. 

אין ספק שאלגברה לינארית הוא תחום מורכב ומסועף, אך הבנתו ולמידתו מעניקה כלים רבים להבנת תחומים שונים בחיים - ולכן סביר כי כל אחד יתקל בו בשלב כזה או אחר.