איך מחשבים שטח משולש?

אם גם אתם נמצאים בתקופה המאתגרת של הלמידה לבגרות במתמטיקה, 
או שהחלטתם להשלים בגרויות או לשפר אותן - הרי שאתם צריכים לדעת גם איך מחשבים שטח משולש. 
בבגרות במתמטיקה, גם זו בהיקף של 3 יחידות בלבד, אתם נדרשים להפגין ידע בגאומטריה, 
בין היתר על ידי פתירת בעיות שונות הכוללות בתוכן משולשים שונים (ישר זווית, שווה שוקיים וכן הלאה).

אחת השאלות השכיחות ביותר ששואלים במסגרת בחינות במתמטיקה המערבות גאומטריה, היא בדבר שטח המשולש. 
אם כן, איך מחשבים את שטח המשולש? המדריך הבא יוכל לסייע לכם!

מהן תכונות המשולש

משולש הינה צורה הנדסית בעלת 3 צלעות, היוצרות 3 זוויות ושלושה קודקודים.
את קודקודי המשולש מסמנים באותיות A,B וC וחיבורם יוצר את הצלעות (AB, BC, CA).
יש כמה וכמה סוגי משולשים וחלקם אף חופפים בהגדרתם אחד למשנהו. (פירוט בהמשך המאמר)

סוגי משולשים

לפני שנתחיל ללמוד על סוגי המשולשים ואיך אנחנו ניגשים לחשב שטח משולש,
כדאי שנכיר קודם, את המונחים בהם נהוג להשתמש כשמדברים על שטח משולש.

מונחים שימושיים בחישובי שטח משולש ומשולשים בכלל

  • ישר - ישר הוא קו ישר (ומכאן שמו) היוצא מנקודה מסויימת על המשולש.
  • גובה - גובה הוא ישר שיוצא מקודקוד מסויים ומגיע בצורה מאונכת לצלע ממולו ויוצר זווית ישרה. את הגובה מסמנים באות h (מהמילה height).
  • תיכון - התיכון הוא גם כן ישר היוצא מקודקוד מסויים ומגיע לצלע הנגדית, אך הוא מגיע בדיוק לאמצע הצלע הנגדית וחוצה אותה לשני חלקים שווים.
  • חוצה זווית - חוצה זווית הוא ישר היוצא מקודקוד מסויים ולמעשה חוצה את הקודקוד לשתי זוויות שוות.
  • אנך אמצעי - אנך אמצעי הוא ישר היוצא מאמצע צלע בצורה מאונכת לה.
  • קטע אמצעים - קטע אמצעים הוא ישר המחבר אמצעי שתי צלעות והוא מקביל לצלע השלישית ואורכו הוא חצי ממנה.
  • צלע נגדית - צלע נגדית היא הצלע הנמצאת מול קודקוד מסויים ולא עוברת דרכו. 
מונחים במשולש

חישוב שטח המשולש - כך עושים את זה!

אחד הטיפים היעילים ביותר שיכולים לסייע לכם עם חישוב שטח המשולש (ופתירת הבעיות), הוא להבין בראש ובראשונה כי משולש הוא למעשה חצי מרובע (מרובע, לא ריבוע ;) ).
ישנם משולשים שניתן בקלות לזהות שהם חצי מרובע - זאת בעקבות צורתם המשתקפת כחצי משלם, כמו משולש ישר זווית לדוגמה.
אך חשוב לציין כי גם משולשים שלכאורה לא משתקפים בפניכם כחצי מרובע – הם אכן כאלו וזו אחת התכונות המאפיינות אותם.

השלב הבא? לחשב את שטח המשולש.
הנוסחה לחישוב שטח משולש היא: גובה X צלע הבסיס (זאת אומרת הצלע אליה מאונך הגובה) לחלק ל-2.


נוסחא לחישוב שטח משולש

 

דוגמאות חישוב שטח משולש, לפי סוגי משולשים

חישוב שטח במשולש שווה צלעות

נתונים:

  • צלע CB שווה ל15 ס"מ
  • הגובה שווה ל13 ס"מ

על פי הנוסחא, מכפילים את הגובה שאורכו הוא 13 ס"מ, בצלע אליה הוא אנכי, שבמקרה הזה היא צלע BC שאורכה 15 ס"מ
אז 13 כפול 15, שווה 195 ואת התוצאה הזו, אנו מחלקים ב2 - 195 חלקי 2 שווה ל97.5.  לכן שטח המשולש הזה הוא 97.5.

חישוב שטח משולש שווה צלעות

חישוב שטח במשולש שווה שוקיים

נתונים:

  • צלע CB שווה ל14 ס"מ
  • הגובה שווה ל17 ס"מ

שוב, על פי הנוסחא, מכפילים את הגובה שאורכו הוא 14 ס"מ, בצלע אליה הוא אנכי, שבמקרה הזה היא צלע BC שאורכה 17 ס"מ.
אז 14 כפול 17, שווה 238 ואת התוצאה הזו, אנו מחלקים ב2 - 238 חלקי 2 שווה ל119.  לכן שטח המשולש הזה הוא 119

חישוב שטח משולש שווה שוקיים

 

חישוב שטח במשולש חד זווית

נתונים:

  • צלע CB שווה ל9 ס"מ
  • הגובה שווה ל10 ס"מ

על פי הנוסחא, מכפילים את הגובה שאורכו הוא 10 ס"מ בצלע אליה הוא אנכי, שבמקרה הזה היא צלע BC שאורכה 9 ס"מ.
אז 10 כפול 9, שווה 90 ואת התוצאה הזו, אנו מחלקים ב2 - 90 חלקי 2 שווה ל45.  לכן שטח המשולש הזה הוא 45.

חישוב שטח משולש חד זווית

חישוב שטח במשולש ישר זווית

נתונים:

  • צלע CB שווה ל12 ס"מ
  • הגובה שווה ל14 ס"מ

שימו לב, כי במשולש ישר זווית, הגובה הוא למעשה גם צלע AC

על פי הנוסחא, מכפילים את הגובה שאורכו הוא 14 ס"מ בצלע אליה הוא אנכי, שבמקרה הזה היא צלע BC שאורכה 12 ס"מ.
אז 14 כפול 12, שווה 168 ואת התוצאה הזו, אנו מחלקים ב2 - 168 חלקי 2 שווה ל84.  לכן שטח המשולש הזה הוא 84.

חישוב שטח משולש ישר זווית

חישוב שטח במשולש קהה זווית

נתונים:

  • צלע CB שווה ל9 ס"מ
  • הגובה שווה ל10 ס"מ

שימו לב, כי במשולש קהה זווית, הגובה נמצא למעשה מחוץ למשולש.
זאת אומרת שנו צריכים לשרטט את המשך צלע הבסיס מנקוד C לנקודה D כדי להגיע אל הגובה.
כך כביכול אנו יוצרים משולש ישר זווית ABD שבו הבסיס מחולק לשתי צלעות CB וDC
אך זכור כי בחישוב השטח אנו נשתמש רק בחלק BC מתוך צלע הבסיס.


גם במקרה זה, על פי הנוסחא, מכפילים את הגובה שאורכו הוא 16 ס"מ בבסיס המשולש לו אנחנו רוצים לחשב את השטח.
במקרה זה מדובר בצלע CB שאורכה 13 ס"מ.
אז 16 כפול 13, שווה 208 ואת התוצאה הזו, אנו מחלקים ב2 - 208 חלקי 2 שווה ל104.  לכן שטח המשולש הזה הוא 104.

חישוב שטח משולש קהה זווית

מתי משתמשים במונחים הנוספים שלמדנו?

שימוש במונחים האחרים כדוגמת תיכון, חוצה זווית וכן הלאה, נעשה כאשר חסרים לנו נתונים
והמונחים האלה הם עזרים המאפשרים לנו בעצם לייצר נתונים חדשים עבור שאלה עם נתונים חסרים.

הטעויות שאולי גם אתם עושים עם למידה למבחן…

ישנם המון תלמידים שמבחן אחר מבחן מרגישים תחושה של חוסר הצלחה. כידוע, הצלחה במבחן הינה סובייקטיבית, ואם אתם כבר מבצעים השוואה – הרי שהיא צריכה להיות רק בהתאם להישגים שלכם (ולא השוואה ביניכם ובין הציונים של החברים). המון פעמים הבעיה היא לא בבקיאות בחומר או בהבנה איך מחשבים שטח של משולש, אלא שהבעיה היא בהיערכות למבחן.

קחו לדוגמא קונדיטור נפלא שמכיר מתכונים, מבין בחומרי גלם ויודע להכין מטעמים נפלאים. מבלי שהוא מבצע הכנות ונערך בהתאם (רכישת חומרים וציוד, מציאת מתכונים טובים וסבלנות עם זמני ההתפחה), הרי שהוא לא יצליח להפיק תוצרים. כך תלמידים יקרים, גם אתכם – היערכות נכונה היא מילת הקסם!

מהן הטעויות שגם אתם אולי עושים שפוגעות בהישגים שלכם?

  • למידה אינטנסיבית מדי. ישנם תלמידים שלומדים כשבוע לפני המבחן – כעשר שעות ביום לערך. הרצון כמובן טוב והמוטיבציה גבוהה, אך הבעיה היא שלעתים אתם גומרים לעצמכם את הדלק עוד לפני שאתם מגיעים ליעד. התוצאה היא שאתם מתעייפים, נשחקים ולא מספיקים לעבור על כל החומר לפני המבחן.

  • ביטחון עצמי גבוה מדי. קיבלתם בבוחן שטחי משולשים 100? זה לא אומר שמומלץ לכם ללמוד כיומיים לפני המבחן. מבחן דורש היערכות – כזו המבוססת על היערכות מנטלית ועל תרגול בעיות שונות. מספר ימים מומלץ ללמידה למבחן: לפחות כשבוע.

  • מתחים ולחצים. אם אתם סובלים מרמה מסוימת של חרדת בחינות, כדאי לטפל תחילה בה. תלמידים שסובלים מאותה החרדה, הם לרוב תלמידים שיודעים יפה מאד את החומר, אך חוסר האמונה שלהם בעצמם הוא זה שפוגע בהם. חזקו את עצמכם מנטלית, אחרת אתם עלולים "לקפוא" במבחן. הציון? יהיה בהתאם.

ללמוד למבחן בגיאומטריה עם סטופר – למה זה כדאי?

מיומנויות הלמידה שלכם חשובות ממש כמו למידת החומר. בעוד כמה שנים, כשתלמדו לבחינת הפסיכומטרי, תגלו כי החבר הטוב ביותר שלכם עתיד להיות הסטופר. טיפ קטן אליכם:

אמצו אותו אליכם כבר עכשיו. תוכלו להפעיל את הסטופר שבסמרטפון שלכם – הוא לגמרי מספיק. כל השנה, ולא רק לפני מבחנים, כדאי לתרגל בעיות ותרגילים (רק לאחר שאתם בקיאים בנושא כמובן), עם הסטופר.מדוע?

  • הסטופר מעניק לכם אינדיקציה כמה זמן לוקח לכם לפתור תרגיל

  • הסטופר מאפשר לכם לדעת מהם האזורים החלשים שלכם

  • הודות לסטופר, יש לכם אפשרות לאמוד את קצב ההתקדמות שלכם (קיצרתם זמנים? התקדמתם!)

כיוונתם ל-90 וקיבלתם 70: מה עושים עכשיו?

להמון תלמידים קשה להכיל ציונים נמוכים, ובעיקר – את האכזבה המתלווה אליהם. חשוב שגם אתם תדעו: ברגע שאתם "גוררים באסה", אתם פוגעים גם בהישגים העתידיים שלכם.

הציון שאתם מקבלים במבחן הוא בעצם משוב שמספר לכם מה אתם עושים נכון, ומה פחות. איך המשוב יכול לשנות את אופן הלמידה שלכם?

  • לקרוא פעם נוספת את השאלות במבחן לפני שממהרים לענות

  • לתחזק את שגרת הלימודים עם שיעורים פרטיים

  • להוסיף ימי לימוד נוספים לפני המבחן

  • ללמוד לבד ולא עם חברים

"כדאי לי לקחת שיעורים פרטיים עם עוד חבר?"

אנו ממליצים שלא והסיבה פשוטה למדי: השיעור הפרטי הוא "פרטי" – כזה המותאם אליכם. ברגע ששני חברים לומדים באותו השיעור הפרטי, הרי שאחד מהם יצטרך להתאים את עצמו לקצב של התלמיד השני.

כך, מתפספס לו בעצם הרעיון של שיעור בהתאמה אישית לצורכי התלמיד. עם זאת, במידה ואתם ועוד חבר נוסף מתקשים בנושא ספציפי (לדוגמא: חישוב שטח המשולש), תוכלו לקחת שיעור אחד יחד.

שיטות נוספות לחישוב שטח המשולש:

• במידה ואתם נשאלים בבחינה על משולש ישר זווית לדוגמא, הרי שתוכלו להכפיל את הניצבים – הצלעות שאינן בבסיס המשולש, ולחלק אותן בשתיים. דרך זו מקצרת המון פעמים את פתרון הבעיה, כך שכדאי להכיר את הנוסחה ואת התכונה הספציפית הזו של המשולש.

• בנוסף, אם אתם נשאלים על משולש שווה שוקיים (מש"ש), דעו כי גם חוצה הזווית וגם התיכון במשולש, נחשבים לגובה. לכן, נתונים שכאלו יכולים לקצר לכם את פתרון הבעיה, זאת מאחר וגם באמצעותם תוכלו להשיב מהו שטחו של המשולש. היכרות עם תכונות המשולש מאפשרת לכם להסתפק גם בנתונים חלקיים כביכול לטובת פתרון השאלה.

סיוע של מורה פרטי במתמטיקה – מתי הוא נחוץ?

לימודי מתמטיקה המון פעמים מעוררים חרדה קלה בקרב תלמידים בתיכונים, ואפילו בקרב אנשים בוגרים יותר המשלימים בגרויות. שיעור פרטי במתמטיקה מתאים לאנשים שרוצים להצליח בבחינה שלהם, כאשר הם לא יודעים איך לעשות זאת.

שיעור פרטי הוא שיעור ממוקד וענייני, שלאורכו לא רק פותרים תרגילים:

• לומדים לקרוא את הבעיה/תרגיל ולהבין אותם

• ניתן דגש רב על ההבנה מה שואלים ועל מה יש לענות

• איך לחלץ נתונים שיכולים לסייע בפתרון הבעיה

• למידת נוסחאות וטריקים שיכולים לסייע בפתרון הבעיות והתרגילים.

בעבר, שיעורים פרטיים במתמטיקה ובמקצועות נוספים, היו מתקיימים רק בבית התלמיד או בבית המורה. כיום, ניתן ליהנות משיעור פרטי איכותי גם אונליין. מדובר על אפשרות נפלאה לחזק את הנקודות החלשות במתמטיקה, תוך שהלמידה מתבצעת בתנאים הנוחים ביותר ובשעות המתאימות ביותר – למורה ולתמיד גם יחד.

משולשים וצורות גאומטריות אחרות פוגשים את התלמידים כבר בלימודי החטיבה. הציונים במתמטיקה הם אלו השומרים על התלמידים בהקבצה שלהם, וגם אלו שבמידה רבה משפיעים על היקף היחידות שילמד כל תלמיד לקראת הבגרויות בתיכון. המון פעמים הקושי במתמטיקה לא נובע מחוסר יכולת, אלא בעיקר משיטת לימוד שאינה תמיד מצליחה לייצר הבנה אצל התלמיד. מורה פרטי למתמטיקה עובד עם התלמיד צעד אחר צעד, בהדרגה ובדגש על תהליך למידה מעמיק שתכליתו הבנה.