איך לכתוב הוכחה/פתרון לבעיה מתמטית
יצא לכן פעם להסתכל על פתרון של תרגיל שלא הצלחתן, ובאמצע ההוכחה יש משפט כמו "נשים לב שמתקיים xyz..." ולא ברור איך הן פשוט "שמו לב" לזה? אני אגלה לכן סוד: הן עשו מלא חישובים ועבודה קשה עד שהן שמו לב לזה. רק שהביאו לכן את ההוכחה הסופית, בלי הטיוטה שלה.
תמיד אני אומרת לתלמידות שלי לכתוב הוכחות בהנחה שמי שבודק לך את המבחן עושה זאת ב-3:00 לפנות בוקר אחרי 4 כוסות קפה ובדיקה של 200 מבחנים אחרים. הכוונה בכך היא שהבודק.ת שלך - גם אם היא גיאונה ויודעת את כל המתמטיקה כולה - לא בהכרח הכי מרוכזת. לכן, כדי לקבל את מלוא הניקוד, אני רוצה לוודא שאני מסבירה את עצמי כל כך בפירוש שאפילו בודקת חצי-ישנה יכולה להבין את הפתרון.
לפתרון טוב 5 מרכיבים עיקריים:
- פירוש: הסבר מה צריך לעשות.
- הצהרה: הסבר מה אני הולכת לעשות.
- נימוק: הסבר למה מה שעשיתי מוצדק.
- גרירה לוגית: הסבר למה מה שעשיתי פותר את הבעיה.
- סיכום: תשובה/מסקנה סופית.
תוכלו לזכור אותם עם ראשית התיבות פ"ה נג"ס אם זה עוזר.
בכל סעיף נתייחס לפתרון התרגיל הבא בגיאומטריה:
נראה קודם את הליכי המחשבה והתכנון של ההוכחה, ובסוף נראה איך תיראה התשובה הסופית.
1. פירוש: הסבר מה צריך לעשות.
נניח היו מבקשים ממני להוכיח ש-ABCD הוא ריבוע.
מה זאת אומרת? באילו הגדרות ותכונות נעשה שימוש בהוכחה שלנו? את כל זה כדאי לרשום כאן. הייתי רוצה להביא הגדרה אחת של ריבוע כדי שאני אדע מה בדיוק אני צריכה לעשות. למשל: נראה שבמרובע ABCD כל הצלעות שוות זו לזו ויש לפחות זווית ישרה אחת.
אבל בדוגמא הזו נתנו לנו את הריבוע וביקשו שנוכיח משהו פשוט יותר, שוויון בין גדלים, שלא דורש הסבר מעמיק.
לכן פשוט נכתוב את מה שנתון לנו, ונצהיר בצורה מסודרת מה התבקשנו לעשות.
נתון: ABCD ריבוע
DE חוצה זווית BDC כלומר EDC=BDE (מסומן בורוד)
וגם EF מאונך ל-BD (מסומן באדום)
צ"ל: CE=BF
*טיפ: בגיאומטריה או בתרגיל בפונקציות אני תמיד מתחילה משרטוט (אם זה אפשרי), גם אם נתנו לי אחד בתרגיל. כדאי להשתמש בסרגל כדי לוודא שיוצאים קווים ישרים ולסמן את הנתונים בשרטוט תוך שימוש בצבעים דומים כדי לסמן גדלים שווים.
2. הצהרה: הסבר מה אני הולכת לעשות.
*טיפ: פתרון מלא יכול להתקיים ללא שלבים 1-2. למרות זאת, מאוד מומלץ להכיל גם את השלבים הראשוניים האלה בתוך כתיבת הפתרון מסיבה פשוטה: אם יש טעות בשלב מאוחר יותר, שלבים 1-2 יכולים לזכות בניקוד חלקי.
למה? כי בשלב 1 הראיתי לבודק ש-א) הבנתי נכון את השאלה ו-ב) אני יודעת לפחות חלק מהחומר. בשלב 2 הבודק יכול לראות שאני מבינה איך לפתור את הבעיה, גם אם לא הצלחתי לבצע נכון את הטכניקה המתמטית שנדרש ממני.
נראה בעזרת חפיפת משולשים ש- CE=EF
נראה ש-BEF משולש שווה-שוקיים ולכן EF=BF
נסיק את השוויון הנדרש: CE=BF
איך אני יודעת לכתוב את זה בראש ההוכחה? כי עשיתי כבר על דף טיוטה את כל החישובים.
תכנון ההוכחה:
כאן אני חוזרת לסקיצה שלי ומסמנת את כל מה שאני יודעת:
אני לא רואה מיד למה CE=BF. אבל יש לי תחושה שאולי CE=EF. אולי זה יכול לעזור לי להתקדם לקראת מה שאני צריכה להוכיח. אני יודעת ש-DE צלע משותפת ובשני המשולשים יש זווית ישרה וגם זווית EDC = זווית FDE כי DE חוצה זווית (הזוויות הורודות). נכון שהיה ממש נוח אילו הייתי יודעת שהזווית הכתומה DEF שווה לזווית הצהובה CED? זה היה בדיוק משלים לי את מה שחסר כדי להשתמש במשפט חפיפה ז.צ.ז. בואו נראה אם אפשר לגלות.
חישובים בטיוטה:
המרובע ABCD הוא ריבוע, ו-DB האלכסון שלו, מה שאומר לי שהזווית BDC = 45. לכן אם DE חוצה אותה, זאת אומרת שכל אחת מהזוויות הקטנות (הוורודות) הן 22.5.
במשולש DEF מתקיים 22.5 + 90 + DEF = 180 כי סכום הזווית במשלוש 180 מעלות.
נבודד מהמשוואה את הזווית שאנחנו רוצות לחשב, DEF:
DEF = 180 - 90 - 22.5 = 90 - 22.5 = 67.5
מצד שני, במשולש CDE מתקיים השוויון:
22.5 + 90 + CDE = 180
ולכן באותו אופן,
CDE = 90 - 22.5 = 67.5
ולכן מטרנזיטיביות:
CDE = 67.5 = DEF
וקיבלנו שוויון בין הזוויות שרצינו! אז יש ז.צ.ז.
הוכחתי שהמשולשים CDE ו- FDE חופפים, אז עכשיו אני יודעת ש-CE = EF כי הן צלעות מתאימות במשולשים חופפים. אבל עוד לא הוכחתי את מה שביקשו ממני. אז אני חוזרת לסקיצה: אם BF היה שווה ל-FE, אז סיימנו - כי הוכחנו כבר ש CE=EF ואז מטרנזיטיביות: CE = EF וגם EF = BF ולכן CE = BF
איך אני אראה שמתקיים EF=BF? אם זה נכון, אז משולש BFE הוא משולש שווה שוקיים. במשו"ש זוויות הבסיס שוות זו לזו. האם אני יכולה להראות שהזווית FBE שווה לזווית BEF?
חישובים בטיוטה:
זווית BEF נמצא על קו שטוח יחד עם עוד שתי זווית שהם בגודל 67.5 כל אחת. אני יודעת שזווית שטוחה היא 180 מעלות, אז אפשר לכתוב משוואה: BEF = 180 - 67.5 + 67.5 = 180 - 135 = 45
הזווית EBF גם נמצאת במשולש הכסף DBC ולכן EBF = 45
כלומר BEF = EBF = 45
לכן BEF משו"ש (כי זוויות הבסיס שוות)
ומכאן BF = EF
ואז מטרנזיטיביות נקבל CE=BF כפי שרצינו.
3. נימוק: הסבר למה מה שעשיתי מוצדק.
בכל צעד בהוכחה מתמטית, אם אני מגיעה למסקנה חדשה, אני צריכה להצדיק אותה על בסיס נתונים או הגיון המסתמך על משפטים שלמדתי. לא משנה כמה קטן או כמה זה נראה טריוויאלי (גם אם זה פשוט ברור!), כל צעד דורש נימוק. כל פעם שיש נימוק - תכתבו מהו.
דוגמאות לנימוק קביל:
- נתון
- לפי ההגדרה
- על פי משפט ידוע שנלמד בכיתה
- הוכחנו בסעיף הקודם
- לפי כללים לוגיים כגון טרנזיטיביות, טריכוטומיה
טענה: זווית BDE שווה לזווית EDC. נימוק: נתון DE חוצה זווית
טענה: DE צלע משותפת. נימוק: נתון
לכן (טענה): משולש CDE חופף למשולש DEF. נימוק: ע"פ משפט חפיפה ז.צ.ז.
4. גרירה לוגית: הסבר למה מה שעשיתי פותר את הבעיה.
כאן תסבירו עבור כל צעד שעשיתן: איך זה עוזר לפתור את הבעיה?
מילות גרירה לוגית: לכן, מכאן, גורר, שקול, נובע וכד'
כלומר BEF=EBF = 45
לכן BEF משו"ש (כי זוויות הבסיס שוות)
ומכאן BF=EF
5. סיכום: תשובה/מסקנה סופית
לאחר שסיימנו לכתוב בפירוט יתר אל כל השלבים של הפתרון, ולמה כל אחד מהם מוצדק, נחזור להביט רגע במה שעשינו בשלב 1 (כתיבת השאלה) כדי שנוכל לוודא שאכן הוכחנו/חישבנו את מה שהתבקשנו להוכיח/לחשב. לפעמים תוך כדי שאלה צריך לפתור עוד שאלה, ואז קל לחשוב שאם פתרתי את השאלה הקטנה, אז פתרתי את כל התרגיל - אבל זו טעות. תמיד כדאי לוודא שמה שמצאתי הוא באמת מה שביקשו ממני בשאלה.
כעת, הוכחנו ש- CE = EF וגם BF = EF ולכן מטרנזיטיביות, CE = BF כפי שרצינו.
ה"כפי שרצינו" דומה לכתיבת "מש"ל" - אני מצהירה שהגעתי למסקנה שביקשו ממני להגיע אליה.
סיפור אמיתי, בטיוטה הראשונה של המאמר הזה, הוכחתי ש CE=EF בעזרת חפיפת משולשים וכתבתי מש"ל, ואז הגעתי לסוף וראיתי שבכלל צריך CE=BF! טוב שבדקתי לפני ההגשה! ':-)
הוכחה סופית
נתון: ABCD ריבוע
DE חוצה זווית BDC כלומר EDC=BDE
וגם EF מאונך ל-BD
צ"ל: CE=BF
הוכחה:
- נראה בעזרת חפיפת משולשים ש- CE=EF
- נראה ש-BEF משולש שווה-שוקיים ולכן EF=BF
- נסיק את השוויון הנדרש: CE=BF
1. טענה: במשולש DEF מתקיים 22.5 + 90 + DEF = 180. נימוק: סכום הזווית במשלוש 180 מעלות.
נבודד מהמשוואה את הזווית שאנחנו רוצות לחשב, DEF:
DEF = 180 - 90 - 22.5 = 90 - 22.5 = 67.5
מצד שני, במשולש CDE מתקיים השוויון: 22.5 + 90 + CDE = 180
ולכן באותו אופן, CDE = 90 - 22.5 = 67.5
ולכן טענה:CDE = 67.5 = DEF. נימוק: טרנזיטיביות השוויון.
קיבלנו שוויון בין הזוויות שרצינו.
הוכחנו ש זווית CDE שווה לזווית DEF.
טענה: זווית BDE שווה לזווית EDC. נימוק: נתון DE חוצה זווית
טענה: DE צלע משותפת. נימוק: נתון
לכן (טענה): משולש CDE חופף למשולש DEF. נימוק: ע"פ משפט חפיפה ז.צ.ז.
מכאן נובע (טענה:) CE=EF. נימוק: צלעות מתאימות במשולשים חופפים.
2. נתבונן במשולש BEF:
מתקיים 67.5 + 67.5 + BEF = 180. נימוק: זווית שטוחה = 180 מעלות.
לכן: BEF = 180 - 135 = 45
הזווית EBF גם נמצאת במשולש הכסף DBC ולכן EBF = 45.
כלומר BEF = 45 = EBF (טרנזיטיביות)
לכן (טענה:) BEF משו"ש. נימוק: משולש שבו זוויות הבסיס שוות הוא משו"ש
ומכאן BF = EF. נימוק: שוקיים במשו"ש
3. כעת, CE = EF וגם BF = EF ולכן מטרנזיטיביות, CE = BF כפי שרצינו.
מש"ל
לסיכום
מאחורי כל הוכחה מסודרת יש טיוטה מלאה בקשקושים, נסיונות כושלות, חישובים, טעויות, וסימני שאלה. רק אחרי שעשינו את העבודה המלוכלכת וגילינו איך להוכיח את מה שביקשו, אפשר לגשת לדף חדש ולכתוב באופן מסודר את ההוכחה. כשצריך להוכיח, צריך ממש להוכיח כל דבר, אלא אם כן סיכמנו מראש שזאת עובדה ידועה וניתן להסתמך על זה. נימוק לכל טענה לא משנה כמה זה ברור מראש. להסביר מה צריך לעשות. להצהיר מה אני הולכת לעשות. לעשות את זה. להסביר למה מותר לי לעשות את זה. להסביר למה זה עוזר לפתרון. להראות שהגעתי למסקנה הנכונה. מש"ל. \(\blacksquare \)